Definiční obor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Funkce \scriptstyle f zobrazuje množinu \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. V tomto případě je \scriptstyle f definována na celé množině \scriptstyle X. V obecnějším případě se však může stát, že ne pro všechny prvky z množiny \scriptstyle X existuje jejich vzor při zobrazení \scriptstyle f.

Definiční obor funkce \scriptstyle f je množina všech hodnot, pro které je funkce \scriptstyle f definována. Definiční obor můžeme definovat pro jakékoli množinové zobrazení. Nechť \scriptstyle T: X \to Y je zobrazení z množiny \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. Pak definiční obor zobrazení \scriptstyle T tvoří právě ty prvky množiny \scriptstyle X, pro něž je definován obraz při zobrazení \scriptstyle T. Obecně nemusí být zobrazení \scriptstyle T definováno na celé množině \scriptstyle X. V tom případě tvoří jeho definiční obor vlastní podmnožinu množiny \scriptstyle X. Občas se kromě názvu definiční obor používá také označení doména. Definiční obor zobrazení \scriptstyle T se značí většinou \scriptstyle D_T, \scriptstyle D(T) či \scriptstyle \text{Dom}(T). Posledně uvedený symbol pak vychází z anglického názvu pro definiční obor (domain) a je běžně používán v cizojazyčné literatuře. V matematické notaci lze definiční obor pro zobrazení \scriptstyle T: X \to Y zapsat jako

 D_T = \{ x \in X| (\exists y \in Y)(T(x) = y)\}.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce \scriptstyle f(x) = 1/x na množině reálných čísel \scriptstyle \mathbb{R} není definována pro \scriptstyle x = 0. Její definiční obor je tedy množina \scriptstyle \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.
  • Mezi další oblíbené příklady patří funkce složené z funkce tangens, která je definována pro všechna reálná čísla kromě lichých násobků čísla \scriptstyle \pi/2.
  • Definiční obor ale nemusí tvořit jen čísla. Uvažujme například operátor derivace, který vezme funkci a vrátí její derivaci, tj. opět nějakou funkci. Neboli
 \text{Der}: \mathcal{C} \to \mathcal{C},

kde jsme jako \scriptstyle \mathcal{C} označili množinu reálných funkcí reálné proměnné, tj. funkcí \scriptstyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}. V tomto případě tedy tvoří definiční obor operátoru derivace \scriptstyle \text{Der} ty funkce z \scriptstyle \mathcal{C}, pro něž existuje jejich derivace. Tento příklad ukazuje zobrazení, které není definováno na celé „vstupní“ množině, protože ne všechny funkce mají derivaci.

Názvosloví[editovat | editovat zdroj]

Mějme zobrazení \scriptstyle T: X \to Y. V závislosti na tom, zda je zobrazení \scriptstyle T definováno pro všechny prvky \scriptstyle X nebo ne, rozlišujeme následující pojmy:

  • Pokud je zobrazení \scriptstyle T definováno pro všechny prvky, tak říkáme, že zobrazuje množinu \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y.
  • Pokud naopak existuje prvek \scriptstyle x z množiny \scriptstyle X, pro něž není zobrazení \scriptstyle T definováno, pak říkáme, že zobrazení \scriptstyle T zobrazuje z množiny \scriptstyle X do množiny \scriptstyle Y. Občas se pro tento případ užívá značení, kdy je vstupní množina, tj. \scriptstyle X, uvedena v závorce. Neboli
 T: (X) \to Y.

Obvykle se ale za množinu \scriptstyle X bere právě definiční obor zobrazení \scriptstyle T a výše uvedenou konvenci se závorkou není třeba užívat.

Uvažujme nyní topologický prostor \scriptstyle X a na něm definované zobrazení \scriptstyle T, které zobrazuje do nějaké množiny \scriptstyle Y. O zobrazení \scriptstyle T řekneme, že je hustě definované, právě když je jeho definiční obor hustou podmnožinou topologického prostoru \scriptstyle X. Neboli

 \overline{(D_T)} = X,

kde pruh nad množinou značí uzávěr této množiny.

Omezení definičního oboru[editovat | editovat zdroj]

Každou funkci (resp. obecněji zobrazení) můžeme omezit na libovolnou podmnožinu jejího definičního oboru. Tedy máme-li funkci \scriptstyle f: X \to Y a platí-li \scriptstyle A \subseteq X, můžeme omezit funkci \scriptstyle f na množinu \scriptstyle A , což značíme

f|_A : A \rightarrow Y.

Takto upravená funkce pak působí na prvky z množiny \scriptstyle A stejným způsobem jako předtím na všechny prvky z množiny \scriptstyle X. Jediným rozdílem je, že už má smysl hovořit o jejích hodnotách jen na prvcích z množiny \scriptstyle A. Pro funkci \scriptstyle f se \scriptstyle f_A nazývá zúžení \scriptstyle f na množinu \scriptstyle A. Místo slova zúžení lze použít i cizí slovo restrikce.

Související články[editovat | editovat zdroj]