Kvadratická rovnice

Jako kvadratická rovnice se v matematice označuje algebraická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje ve druhé mocnině (x²). V základním tvaru vypadá následovně:

$ax^2 + bx + c = 0$

Zde jsou a, b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty této rovnice, x je neznámá. Koeficient a je vždy různý od nuly, neboť pro a = 0 se jedná o lineární rovnici. Často se kvadratická rovnice vyjadřuje v základním (normovaném) tvaru, kde a = 1. Do tohoto tvaru lze převést každou kvadratickou rovnici jejím vydělením koeficientem a.

Jednotlivé členy mají také svá pojmenování: ax² je kvadratický člen, bx je lineární člen a c absolutní člen.

Řešení rovnice

Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriminant $D = b^2 - 4ac$. Podle jeho hodnoty pak mohou nastat tři případy:

• D = 0, tehdy má rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení $x = \frac{-b}{2a}$. Původní rovnici je možno zapsat ve tvaru $a(x + \frac{b}{2a})^2 = 0$.
• D > 0, tehdy má rovnice dvě různá reálná řešení $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}$. Rovnici je možno zapsat ve tvaru $a(x-x_1)(x-x_2) = 0$.
• D < 0, tehdy rovnice nemá v reálném oboru řešení. Jejím řešením jsou dvě komplexně sdružená čísla $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn i \sqrt{-D}}{2a}$. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a (x-x_1) (x-x_2) = 0$, ovšem kořeny x_1,2 jsou nyní komplexní čísla.

Komplexní koeficienty

V nejobecnějším případě jsou také koeficienty $a,b,c$ komplexní čísla. Řešení získáme opět výpočtem diskriminantu $D = b^2 - 4ac$ a jeho druhé odmocniny v oboru komplexních čísel. Vzorec řešení je stejný jako v případě reálných koeficientů. $x_{1,2}=\frac{-b \plusmn \sqrt{D}}{2a}$. Výsledkem jsou obecně dvě komplexní čísla, mezi nimiž nemusí být žádný vztah. Rovnici je opět možné napsat ve tvaru $a(x-x_1)(x-x_2) = 0$. V případě nulového diskriminantu obě řešení splývají v jedno komplexní číslo $x_0$ a rovnice má tvar $a(x-x_0)^2 = 0$.

Další rovnosti

Pro kořeny rovnice platí následující rovnosti (jedná se o speciální případ tzv. Vièteho vztahů):

• $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Geometrický význam

Levá strana rovnice (ax² + bx + c) popisuje parabolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je a>0, je parabola otevřená směrem nahoru (má vrchol dole), při a<0 je otevřená dolů (vrchol je nahoře). Řešení kvadratické rovnice odpovídá hledání průsečíků této paraboly s osou x (pravá strana z rovnice dělá výraz y=0). Podle polohy paraboly mohou nastat tři případy:

• Parabola leží celá nad (pro a>0) nebo celá pod (pro a<0) osou x. To nastane v případě, že D<0. Tehdy parabola nemá žádný průsečík s osou x, což znamená, že kvadratická rovnice nemá v reálných číslech řešení. Kořeny rovnice jsou 2 komplexně sdružená komplexní čísla.
• Vrchol paraboly leží právě na ose x. To nastane v případě, že D=0. Tehdy se parabola osy x dotýká, tzn. má s ní jeden společný bod (právě vrchol paraboly), tzn. kvadratická rovnice má jedno řešení.
• V ostatních případech osa x parabolu protíná ve dvou bodech. To nastane v případě, že D>0. Tehdy existují dva průsečíky osy x s parabolou, tzn. rovnice má dvě různá řešení.

• 

  x² − x + 1: Celá parabola je nad osou x.

• 

  −x² − 2x − 2: Celá parabola je pod osou x.

• 

  −x² + 2x - 1: Parabola se dotýká osy x.

• 

  x² − 5x + 2: Osa x parabolu protíná.

Související články

• Parabola
• Lineární rovnice
• Kubická rovnice
• Kvartická rovnice
• Binomická rovnice

Externí odkazy

• Kvadratická rovnice v matematické encyklopedii MathWorld (anglicky)
• Online výpočet kvadratické rovnice