Kořen (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Kořen polynomu[editovat | editovat zdroj]

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (xa) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom x^2+1 nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla \pm i).

Metody výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Přímo[editovat | editovat zdroj]

Aproximací[editovat | editovat zdroj]

Najdeme-li dva body x_1 a x_2, pro které platí \sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2)) kde \sgn značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno P(x_1)P(x_2)<0), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu (x_1,x_2) (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Kořenem funkce (polynomu) f(x) = x^2 + 6x + 9 je číslo −3, protože f(-3) = 0. Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na (x + 3)^2.
  • Funkce f(x) = e^x (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce f(x) = sin (x) (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články[editovat | editovat zdroj]