Kořen (matematika)

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0.

Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (x − a) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom $x^2+1$ nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla $\pm i$).

Metody výpočtu

Přímo

• Je-li $P(x)$ lineární polynom (tedy $P(x) = ax + b$, kde $a \neq 0$ a $b$ jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo $x_0=-\frac{b}{a}$
• Jde-li o kvadratický polynom ($P(x) = ax^2 + bx + c$), pak existují obecně dva kořeny $x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body $x_1$ a $x_2$, pro které platí $\sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2))$ kde $\sgn$ značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno $P(x_1)P(x_2)<0$), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu $(x_1,x_2)$ (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

• Kořenem funkce (polynomu) $f(x) = x^2 + 6x + 9$ je číslo −3, protože f(-3) = 0. Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na $(x + 3)^2$.
• Funkce $f(x) = e^x$ (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
• Funkce $f(x) = sin (x)$ (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články

• Rovnice
• Funkce