Cardanovy vzorce

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po svém objeviteli Girolamu Cardanovi.

Historie

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup

Rovnici nejprve převedeme na tvar

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1)$

Substitucí $x = t - a/3$ odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

$t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{kde}\quad p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{a}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. \qquad (2)$

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí $t=y-{p\over 3y}$ a vynásobením obou stran $y^3$, po mnoha pokráceních dostaneme $y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0$, kterou jednoduše vyřešíme.
      My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

$t=u+v$

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0$ (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

$3uv+p=0$.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

$- u^3 + \frac{p^3}{27u^3} = q.$

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u³ a dostaneme

$u^6 + qu^3 - p^3/27 = 0\,.$

Toto je kvadratická rovnice pro u³. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

$u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}$

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \quad (4)$

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

$x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}.$

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině ($\pm$), a tři komplexní řešení třetí odmocniny - hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená $\tfrac{-1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo mínus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u=v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

$v = -\sqrt[3]{q}$.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t=0. Taky pokud q=0, pak

$u=\sqrt{p/3}$ a

$v=-\sqrt{p/3}$, takže třetí odmocniny jsou t=u+v=0,

$t=ju-p/3ju=\sqrt{-p}$ a

$t=u/j-jp/3u=-\sqrt{-p}$, kde

$j=\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Shrnutí

Pro kubickou rovnici

$x^3 + ax^2 + bx +c = 0\$

řešení pro neznámou x dostaneme jako

$x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}$

kde

$p = b - \frac{a^2}3$

$q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}$

$u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}.$

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že $u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$ nebo $\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$ .

Ale protože u a v musí splňovat $-u^{3}-v^{3}=q$ a $-uv=\frac{p}{3}$ můžeme dokázat, že pokud

$u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$ pak $v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}$.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

$u=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.~~~a~~~v=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.$

Nezapomeňte, že díky $~t=u+v~$ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud $-uv=\frac{p}{3}$ musí platit, takže -

$t=\left\{ \begin{align} & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ \end{align} \right.$

a x dostaneme jako $x=t-\frac{a}{3}$

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálné, může být elegantní následující řešení:

Nechť:

$D=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}$

Potom:

1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva komplexní kořeny.
2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny.
3. Pokud D = 0, pak existuje jeden reálný kořen (trojnásobný) nebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.