Cardanovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po Girolamu Cardanovi.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Niccolò Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Rovnici nejprve převedeme na normovaný tvar (vydělením vedoucím koeficientem)

Substitucí (posunutím proměnné) odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560–1621) substitucí a vynásobením , po snadných úpravách dostaneme , kterou jednoduše vyřešíme převedením na kvadratickou rovnici substitucí .
      Dále popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích a je v podstatě stejná.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme

(3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme

Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (), a tři komplexní řešení třetí odmocniny – hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená . Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo minus) neovlivní výsledné t (zřejmě −p/3u = v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t = 0. Taky pokud q = 0, pak

a
, takže třetí odmocniny jsou t = u + v = 0,
a
, kde
.

Shrnutí[editovat | editovat zdroj]

Pro kubickou rovnici

řešení pro neznámou x dostaneme jako

kde

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že nebo .

Ale protože u a v musí splňovat a , můžeme dokázat, že pokud

, pak .

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

Nezapomeňte, že díky dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud , takže musí platit –

a x dostaneme jako

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálná, může být elegantní následující řešení:

Označme tzv. diskriminant rovnice

.

Potom platí:

  1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny.
  2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny (tzv. casus irreducibilis).
  3. Pokud D = 0, pak existuje jeden trojnásobný reálný kořen anebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic equation na anglické Wikipedii.