Cardanovy vzorce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Cardanovy vzorce jsou matematické vzorce, které se využívají k nalezení kořenů kubických rovnic. Jsou pojmenovány po svém objeviteli Girolamu Cardanovi.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Řešení je možné nalézt díky dvěma italským matematikům Scipionemu del Ferrovi a Tartagliovi, žákům Gerolama Cardana.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Rovnici nejprve převedeme na tvar

x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1)

Substitucí x = t - a/3 odstraníme kvadratický člen, dostaneme rovnici

 t^3 + pt + q = 0, \quad\mbox{kde}\quad p = b - \frac{a^2}3 \quad\mbox{a}\quad q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. \qquad (2)

Tuto rovnici můžeme řešit díky Thomasi Harriotovi (1560-1621) substitucí t=y-{p\over 3y} a vynásobením obou stran y^3, po mnoha pokráceních dostaneme y^6+q y^3-{p^3\over 27}=0, kterou jednoduše vyřešíme.
      My ale popíšeme originální Cardanovu metodu, která stále dominuje v dnešních učebnicích.

Předpokládejme, že lze nalézt dvě neznámé u a v splňující

 t=u+v

Tento výraz dosadíme do původní rovnice a po roznásobení dostaneme :

 u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 (3)

Genialita Cardanova řešení spočívá v zavedení podmínky

 3uv+p=0.

To je možné, protože jsme zavedli dvě neznámé u a v spojené jen podmínkou u + v = t. Substitucí tohoto do první rovnice v (3) dostaneme

 - u^3 + \frac{p^3}{27u^3} = q.

Přesuneme všechno na q stranu, vynásobíme rovnost u3 a dostaneme

 u^6 + qu^3 - p^3/27 = 0\,.

Toto je kvadratická rovnice pro u3. Pokud budeme řešit tuto rovnici, zjistíme, že

 u^{3}=-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}
 u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \quad (4)

Protože t = v + u, t = x + a/3, a v = −p/3u, dostaneme

x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}.

Všimněte si, že máme šest možností počítání s u (4), protože existují dvě řešení, díky druhé odmocnině (\pm), a tři komplexní řešení třetí odmocniny - hlavní odmocnina a hlavní odmocnina vynásobená \tfrac{-1}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Nicméně znaménko druhé odmocniny (plus nebo mínus) neovlivní výsledné t (zřejmě -p/3u=v), ačkoli musíme být opatrní ve dvou zvláštních případech, abychom se vyhnuli dělení nulou. Za prvé, pokud p = 0, pak u = 0 a

v = -\sqrt[3]{q}.

Za druhé, pokud p = q = 0, pak dostáváme trojnásobný reálný kořen t=0. Taky pokud q=0, pak

u=\sqrt{p/3} a
v=-\sqrt{p/3}, takže třetí odmocniny jsou t=u+v=0,
t=ju-p/3ju=\sqrt{-p} a
t=u/j-jp/3u=-\sqrt{-p}, kde
j=\tfrac{-1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Shrnutí[editovat | editovat zdroj]

Pro kubickou rovnici

x^3 + ax^2 + bx +c = 0\

řešení pro neznámou x dostaneme jako

x=-\frac{p}{3u}+u-{a\over 3}

kde

p = b - \frac{a^2}3
q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}
u=\sqrt[3]{-{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}.

Alternativní metoda získání stejných výsledků je následující.

Víme, že u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} nebo \frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} .

Ale protože u a v musí splňovat -u^{3}-v^{3}=q a -uv=\frac{p}{3} můžeme dokázat, že pokud

u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}} pak v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}.

Vypsáním třetích odmocnin dostaneme

u=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.~~~a~~~v=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.

Nezapomeňte, že díky ~t=u+v~ dostaneme jenom tři možné hodnoty t, protože jsou možné jen tři kombinace u a v, pokud -uv=\frac{p}{3} musí platit, takže -

t=\left\{ \begin{align}
  & \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
 & \left( -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \\ 
\end{align} \right.

a x dostaneme jako x=t-\frac{a}{3}

Všimněte si, že dosud uvedené metody použijeme, pokud p a q jsou komplexní. V případě, že p a q jsou obě reálné, může být elegantní následující řešení:

Nechť:

D=\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}

Potom:

  1. Pokud D je kladné, pak dostaneme jeden reálný a dva komplexní kořeny.
  2. Pokud D je záporné, pak dostaneme tři reálné kořeny.
  3. Pokud D = 0, pak existuje jeden reálný kořen (trojnásobný) nebo dva reálné kořeny (dvojnásobný a jednoduchý).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Cubic_equation na anglické Wikipedii.