Funkce signum

Funkce signum

Funkce signum (neboli znaménková funkce, zkratka sgn) je matematická funkce, která libovolnému číslu $z\,$ přiřadí číslo o velikosti jedna nebo nula (pro $z\,$ = 0).

Reálné signum

Reálné signum je definováno následujícím způsobem:

$\sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1 & : & x < 0 \\ 0 & : & x = 0 \\ 1 & : & x > 0 \end{matrix} \right.$

Libovolné číslo lze tedy vyjádřit jako součin znaménka a absolutní hodnoty:

$x = \sgn(x) \cdot |x|\,$

Komplexní signum

Funkce signum může být zobecněna na komplexní čísla tak, že

$\sgn z = \frac{z}{|z|}$

pro každé z ∈ $\mathbb{C}$ kromě z = 0. Signum daného komplexního čísla z je bod na jednotkové kružnici v komplexní rovině se středem v počátku [0,0], který je nejblíže z.

Další zobecnění funkce signum na reálné a komplexní výrazy je funkce csgn, definovaná takto:

$\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1 & \text{pokud } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\ -1 & \text{pokud } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\ 0 & \text{pokud } \Re(z)=\Im(z)=0. \end{cases}$

Potom (kromě z = 0):

$\operatorname{csgn}(z) = \frac{z}{\sqrt{z^2}} = \frac{\sqrt{z^2}}{z}.$

Související články

• Heavisideova funkce
• Znaménko permutace
• Levi-Civitův symbol