Metoda tečen

Jeden krok metody tečen při hledání řešení $f(x)=0$. $x_n$ představuje původní odhad, v bodě $f(x_n)$ je sestrojena tečna ke křivce $f(x)$. V místě, kde tečna protíná osu $x$, se nachází nový odhad $x_{n+1}$.

Metoda tečen je iterační numerická metoda užívaná v numerické matematice k numerickému řešení soustav nelineárních rovnic. Nazývá se také Newtonova metoda (nebo Newton-Raphsonova metoda) a metodou tečen je označována, protože přesnější řešení rovnice f(x) = 0 je hledáno ve směru tečny funkce f(x).

Popis algoritmu

Newtonova metoda tečen slouží k nalezení řešení rovnice f(x) = 0 za předpokladu, že známe derivaci funkce f'(x), tedy směrnici tečny. Pro jednoduchost dále předpokládejme, že x i f(x) jsou skaláry.

Animovaná ukázka hledání řešení $f(x)=0$.

Dalším nezbytným předpokladem je znalost počáteční hodnoty x₀, v jejíž blízkosti hledáme řešení. Pokud se funkce f(x) chová rozumně (je spojitá, hladká a monotónní v intervalu, ve kterém hledáme řešení), lze očekávat řešení v místě, kde tečna sestrojená z bodu f(x₀) protíná osu x. (Směrnice této tečny je f'(x₀).) Tento průsečík označíme x₁ a vypočteme jej podle následujícího vztahu.

$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

Za splnění výše uvedených předpokladů by měla hodnota f(x₁) být blíže nule než původní f(x₀). Stejný postup můžeme opakovat a najít tak ještě přesnější hodnotu x_k.

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$

Iteraci provádíme tak dlouho, dokud hodnota f(x_k) neleží dostatečně blízko nuly.

Příklad: Výpočet druhé odmocniny

Úkolem je vypočítat druhou odmocninu kladného reálného čísla a.

$x = \sqrt{a}$

Problém lze definovat také jako nalezení kořenu funkce $f(x) = x^2 - a$, neboli řešení rovnice $f(x) = 0$.

Vypočteme derivaci $f'(x)$.

$f'(x) = 2x$

Dosadíme do obecného vzorce a upravíme.

$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^2-a}{2x_k}$

$x_{k+1} = \frac{1}{2} \left( x_k + \frac{a}{x_k} \right)$

Získáváme tak rekurentní rovnici, u které jako počáteční podmínku můžeme zvolit $x_0 = a$.

Ukázka výpočtu $x = \sqrt{9}$, neboli $x^2-9 = 0$, metodou tečen.

Výpočet $\sqrt{9}$ (druhé odmocniny z devíti) bude podle výše uvedeného algoritmu probíhat následovně.

a  = 9
x0 = 9
x1 = 5
x2 = 3.4
x3 = 3.02352941176471
x4 = 3.00009155413138
x5 = 3.00000000139698
x6 = 3.00000000000000
x7 = 3.00000000000000

Je vidět, že po několika málo krocích se hodnota $x_k$ nemění a ustálí se (konverguje) na hodnotě 3, což odpovídá správnému výsledku.

Poznámky

Aproximace derivace

Pokud známe pouze funkci f(x) a neznáme její derivaci f'(x), můžeme se pokusit derivaci nahradit numerickou derivací. Případně je možné řešit úlohu metodou sečen, která znalost derivace nevyžaduje.

Vektory

Je-li funkce f(x) skalární funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte skalár“), je nutné hledat x_k+1 proti směru gradientu. Předpis pro iteraci lze potom napsat následovně.

$\bold x_{k+1} = \bold x_k - \Delta \bold x_k$

$\Delta \bold x = \left[ \begin{matrix} \frac{f(\bold x)}{\frac{\partial f}{\partial x_1}}, \ldots, \frac{f(\bold x)}{\frac{\partial f}{\partial x_n}} \end{matrix} \right]^T$

Pokud je funkce f(x) vektorovou funkcí vektorového argumentu („z vektoru vypočte vektor“), lze předpis pro iteraci napsat následovně.

$\bold x_{k+1} = \bold x_k - \bold J (\bold x_k) ^ {-1} \bold f(\bold x_k)$

Matice J je takzvaná Jacobiho matice (nebo též jakobián) obsahující parciální derivace.

$\bold J(\bold x) = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{matrix} \right]$

Související články

• Fraktál Newton – fraktál generovaný Newtonovou metodou
• Linearizace – jedním ze způsobů linearizace je nahrazení části křivky její tečnou

Externí odkazy

• Newtonova metoda: http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/numericke_metody/node10.html
• Řešení rovnic, Newtonova metoda: http://vydra.troja.mff.cuni.cz/bobo/fyzika/num3_metodanewtonova.cz