Rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Uvažujme dvě funkce f(x), g(x), které jsou definovány na nějaké množině D, pak nalezení všech x \in D, která splňují rovnost

f(x) = g(x)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé x. Funkce f(x) se nazývá levá strana rovnice a g(x) se nazývá pravá strana rovnice.

Kořeny rovnice[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Kořen (matematika).

Každé číslo x_0 \in D, které vyhovuje vztahu f(x_0) = g(x_0), se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v D, nazývá se řešitelná v D, pokud žádný kořen v D nemá, říkáme, že rovnice je v D neřešitelná. Pokud je rovnice f(x) = g(x) splněna pro všechna x \in D, jde o identitu, což značíme

f(x) \equiv g(x)


Triviální řešení[editovat | editovat zdroj]

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech je požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení přímo součástí zadání problému.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

y^\prime = y

je

y = 0,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

y = \mathrm{e}^x,

což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice a^n + b^n = c^n pro n>2. Triviálním řešením by v tomto případě bylo a = b = c = 0, což platí pro libovolné n. Podobně je triviálním řešením a = 1, b = 0, c = 1. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice[editovat | editovat zdroj]

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice f_1(x) = g_1(x), f_2(x) = g_2(x), pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní.

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

  • přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. f(x) + a = g(x) + a je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)
  • vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. a f(x) = a g(x) je ekvivalentní rovnicí s rovnicí f(x) = g(x)

Rovnici f(x) = g(x) je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

F(x) = f(x) - g(x) = 0

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška[editovat | editovat zdroj]

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých[editovat | editovat zdroj]

Rovnice o n neznámých má tvar

F(x_1,x_2,...,x_n) = 0

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě F(x) = 0, přičemž řešením rovnice o n neznámých jsou n-tice (x_1, x_2, ..., x_n).

Algebraické a nealgebraické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované jako polynomiální rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici n-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom n-tého stupně s a_n \neq 0, přičemž se předpokládá, že n \geq 1. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice (n = 1), kvadratická rovnice (n = 2), kubická rovnice (n = 3) a kvartická rovnice (n = 4). Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně n \geq 1 alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.


Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice[editovat | editovat zdroj]

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. 3 x^2 y + 3 x^3 + 2 y^3 - 5 x y^2 = 0 je homogenní rovnice třetího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru f(x)=0, kde f(x) je homogenní funkce.

Další druhy rovnic[editovat | editovat zdroj]

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Slovníkové heslo rovnice ve Wikislovníku

kalkulačka na počítání rovnic