Kvartická rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e = 0\,,

kde a\ne 0.

U kvartických rovnic používáme následující terminologii:

  • ax^4 – kvartický člen
  • bx^3 – kubický člen
  • cx^2 – kvadratický člen
  • dx – lineární člen
  • e – absolutní člen

Bikvadratická rovnice[editovat | editovat zdroj]

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

ax^4 + bx^2 + c = 0\,

Řešení bikvadratické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce z = x^2, čímž získáme kvadratickou rovnici

az^2 + bz + c = 0\,

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

z_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,

Toto řešení použijeme pro získání hodnot x, které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

x_{1,2} = \pm\sqrt{z_1}
x_{3,4} = \pm\sqrt{z_2}

Obecné řešení kvartické rovnice[editovat | editovat zdroj]

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 15. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu zde uvedeme.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Vydělíme-li rovnici koeficientem a kvartického členu y^4, tím získáme rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

x^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0

2. Použijeme substituci

x = y - \frac{B}{4}\,

Tím dostaneme jinou rovnici s novou neznámou y. Mezi neznámými x, y však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou y, pak dokážeme najít i neznámou x. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice – tato rovnice bude mít tzv. redukovaný tvar:

y^4 + Py^2 + Qy + R = 0       \qquad\qquad(1)

3. Rozložíme čtyřčlen y^4 + Py^2 + Qy + R = 0 na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů y^2 budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako K,L, M, N. Má tedy platit, že:

y^4 + Py^2 + Qy + R = (y^2 + Ky + L)(y^2 + My + N),

a tedy z předchozího kroku plyne: (y^2 + Ky + L)(y^2 + My + N) = 0

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

K + M = 0 (tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu y^3musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čtyřčlen)

KM + L + N = P

KN + LM = Q¨

LN = R

4. Všimneme si, že vztah K + M = 0 lze snadno přetvořit na -K = M, čehož využijeme a dosadíme výraz -K do trojčlenu y^2 + My + N namísto M, čímž získáme rovnost

y^4 + Py^2 + Qy + R = (y^2 + Ky + L)(y^2 - Ky + N)

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

L + N - K^2 = P

KN - KL = Q

LN = R

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

L + N = P + K^2

L - N = -\frac{Q}{K}\,

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů L,N. Podařilo se mi vyjádřit jejich součet L + N, jejich rozdíl L - N a jejich součin LN. O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

(A + B)^2 - (A - B)^2 = 4AB

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy L,N:

(L + N)^2 - (L - N)^2 = 4LN

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot L,N ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

(P + K^2)^2 - (-\frac{Q}{K}\,)^2 = 4R

7. Uvědomíme si, že hodnoty P, Q, R jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou K. Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

K^6 + 2PK^4 + K^2(P^2 - 4R) - Q^2 = 0

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé K. Proto položíme substituci S=K^2. Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou S a tedy i K. Po dosazení číselné hodnoty K do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty L, N. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

(y^2 + Ky + L)(y^2 - Ky + N) = 0.

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny y_{1,2} získáme vyřešením kvadratické rovnice y^2 + Ky + L = 0, zatímco kořeny y_{3,4} vyřešením kvadratické rovnice y^2 - Ky + N = 0.

11. Známe-li kořeny y_{1,2,3,4}, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice x_{1,2,3,4}.

Poznámka - Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů A, B, C, D, E, ale jeho zápis by byl poměrně komplikovaný a nepraktický, proto ho zde neuvádíme. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned, a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici x^4 + 6x^3 - x - 6 = 0 lze snadno rozložit na (x + 6)(x^3 - 1) = 0, popř. ještě dál na: (x + 6)(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0, a tak uhodnout z hlavy kořeny x_{1} = -6,  x_{2} = 1 .


Obrázky[editovat | editovat zdroj]

Vzorce, které ukazují obecné řešení redukovaného tvaru rovnice (1).

první ze čtyř řešení kvartické rovnice
druhé ze čtyř řešení kvartické rovnice
třetí ze čtyř řešení kvartické rovnice
čtvrté ze čtyř řešení kvartické rovnice


Ještě složitější vzorce by vycházely pro normovaný tvar kvartické rovnice.

Související články[editovat | editovat zdroj]


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]