Exponenciální funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf exponenciální funkce o základu e na intervalu (-5;5)

Exponenciální funkce f(x) je matematická funkce, kterou lze zapsat ve tvaru

y = f(x) = a^x,

kde a je kladné číslo různé od 1.

Definičním oborem exponenciální funkce můžou být všechna reálná, resp. všechna komplexní čísla. Číslo a se nazývá základ, x exponent.

Vlastnosti exponenciální funkce[editovat | editovat zdroj]

Pro každou exponenciální funkci y = a^x platí:

  • je zdola omezená
  • je prostá
  • pro a > 1 rostoucí, pro a ∈ (0; 1) klesající
  • f(0) = 1 (tedy graf prochází bodem [0;1])

Exponenciála o základu e[editovat | editovat zdroj]

Nejpřirozenější základ exponenciální funkce je Eulerovo číslo e. Funkce f(x)=e^x je až na násobek jediné řešení diferenciální rovnice

y'=y.

Funkce e^x se obvykle definuje mocninnou řadou

e^x=\sum_{j=0}^\infty\frac{x^j}{j!},

která konverguje pro každé reálné i komplexní x. Obecná exponenciální funkce se pak dá definovat jako

a^x=e^{x \ln\, a}

kde \ln\, a je přirozený logaritmus čísla a.

Dosazením čistě imaginárního čísla ix do definice exponenciály dostáváme vztah e^{ix}= \cos x+ i \sin x

Vztah logaritmické a exponenciální funkce[editovat | editovat zdroj]

Exponenciální a logaritmická funkce jsou navzájem inverzní, tedy platí:

f: y = a^x , f^{-1}: y = log_{a}x.

Grafy těchto funkcí jsou osově souměrné podle přímky y = x.

Exponenciála operátorů[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Maticová funkce.

Mocninná řada v definici exponenciály umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic a operátorů. Mocniny a součty operátorů, respektive matic, jsou dobře definované a příslušná řada konverguje.

Související články[editovat | editovat zdroj]