Exponenciální funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Graf exponenicální funkce o základu

e

na intervalu (-5;5)

Exponenciální funkce $f (x)$ je funkce, kterou lze zapsat ve tvaru

y = f (x) = a x

,

kde $a \in (0;1) \cup (1;\infty)$ .

Definičním oborem exponenciální funkce je celý obor reálných čísel. Oborem hodnot exponenciální funkce je interval $(0;\infty)$ .

[editovat] Vlastnosti

exponenciální funkce je prostá a monotónní
exponenciální funkce není periodická
exponenciální funkce je na celém definičním oboru spojitá
exponenciální funkce je zdola omezená (např. nulou)
exponenciální funkce nemá v žádném bodě ani maximum, ani minimum
pro $a > 1$ je exponenciální funkce rostoucí a pro $0 < a < 1$ je klesající
exponenciální funkce je na celém definičním oboru konvexní (nezávisle na velikosti základu $a$ )
bod [0;1] vždy náleží grafu exponenciální funkce
inverzní funkcí k exponenciální funkci je funkce logaritmická
grafem exponenciální funkce je exponenciála
zvláštní význam má exponenciální funkce o základu e, jejíž růst (derivace) je přesně rovna její hodnotě

[editovat] Graf exponenciální funkce

grafy funkcí $y = a x$ a $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ jsou osově souměrné podle osy $y$
graf funkce $y = a (x - b) + c$ je graf exponenciální funkce o příslušném základu ( $y = a x$ ) posunutý o $b$ na ose $x$ a o $c$ na ose $y$ .

[editovat] Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnice je rovnice, u které se proměnná vyskytuje v exponentu. Při řešení techto rovnic využíváme pravidel pro počítání s mocninami a často se řeší zlogaritmováním.

[editovat] Tečna k exponenciále

Pokud máme exponenciálu v obecném tvaru y=a^x, směrnice (popř. derivace) tečny v jejím libovolném bodě x₀ má tvar k = ln(a)* a^x₀

[editovat] Exponenciála o základu e

Tato část článku potřebuje úpravy. Můžete ji vhodně vylepšit. Inspiraci naleznete v doporučení Vzhled a styl, případně na diskusní stránce článku.

Né všechny exponenciály jsou si rovny, nejhezčí z nich má za základ Eulerovo číslo. Tato funkce má významnou roli jak v matematice, tak ve fyzice. Jde o jedinou netriviální funkci, kterou, když zderivujeme obdržíme zase tu samou funkci. Exponenciála je tedy řešením rovnice:

$y' = y$

Přesněji má tato rovnice řešení $y = C exp(x) = C e x$ , kde C je libovolná multiplikativní konstanta.

To, že derivací exponenciály je opět exponenciála má řadu důsledků. Například řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty se dá zapsat (pokud nemá charakteristická rovnice násobné kořeny) jako superpozice funkcí tvaru $e p x$ , kde p je kořenem charakteristické rovnice.

Vyjmečnost exponenciály dokazuje i známý vztah:

$e i x = cos x + i sin x$

Funkce sínus a kosínus lze tedy vyjádřit pomocí exponenciál.

Exponenciálu můžeme taktéž definovat jako tuto limitu:

$\exp x = \lim_{N \to \infty} \left( 1+\frac{x}{N}\right)^N$

Z tohoto vyjádření lze pomocí binomické věty odvodit vyjádření exponenciály pomocí řady (asi nejznámější mocniná řada v matematice):

$\exp x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

Tato mocniná řada konverguje pro každé x, její poloměr koonvergence je nekonečno. Má jednu zázračnou vlastnost, derivonáním se nemění.

[editovat] Exponenciála operátorů

Zejména posledně uvedená mocniná řada umožňuje definovat exponenciálu i mnohem komplikovanějších objektů, než jsou komplexní čísla, zejména matic, případně ještě obecněji operátorů. Protože jak mocniny operátorů, respektive matic máme dobře definované.

Zkusme například vypočítat pro reálnou funkci tento tajemný výraz:

$\exp \left(a\frac{d}{dx}\right)f(x)$

Využijeme-li definici exponenciály pomocí řady, dostáváme:

$\exp \left(a\frac{d}{dx}\right)f(x)=(1+a\frac{d}{dx}+\frac{a^2}{2} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{a^3}{6} \frac{d^3}{dx^3}+ \cdots )f(x)$

$\exp \left(a\frac{d}{dx}\right)f(x) = f(x)+a\frac{df}{dx} (x)+\frac{a^2}{2} \frac{d^2f}{dx^2} (x) + \frac{a^3}{6} \frac{d^3f}{dx^3} (x)+ \cdots =f(x+a)$

V byla zde využita vlastnost Taylerovy řady funkce. Vídíme tedy že exponenciála derivace představuje na prostoru funkcí posouvací operátor, náš výraz posunul funkci o a směrem doleva. Všiměme si, že význam operátorů nejlépe pochopíme, když je nepočítáme samotné, ale působící na nějaký objekt

V teorii grup je proto derivace v jistém smyslu generátorem posunutí. V kvantové fyzice představuje v souřadnicové reprezentaci derivace podle souřadnic složky operátoru impulzu, až na multiplikativní konstantu.

Uveďme jestě jeden zajímavý příklad, vypočtěme:

$\exp (\phi \bold{n} \times) \bold{v}$

Kde $\bold{n}$ je jednotkový vektor ve třírozměrném prostoru, $\times$ značí vektorové násobení. Celkově lze $\bold{n}\times$ chápat jako operátor, který po pusobení na vektor vrátí jiný vektor, který je kolmý jak na tento vektor, tak na vektor $\bold{n}$ , daný směr se určí pravidlem pravé ruky, viz definice vektorového součinu. Rozpisem pomocí řady dostaneme:

$\exp (\phi \bold{n} \times) \bold{v} =\left(1+\phi \bold{n} \times + \frac{\phi^2}{2} \bold{n} \times(\bold{n} \times + \frac{\phi^3}{6} \bold{n} \times(\bold{n} \times(\bold{n} \times + \cdots \right)v$

Význam neuzavřených závorek, které jsou zde nutné (vektorový součin není asociativní) pochopíme, použijeme-li vektor $\bold{v}$ na každý člen v řadě.

$\exp (\phi \bold{n} \times) \bold{v} =\bold{v}+\phi \bold{n} \times \bold{v} + \frac{\phi^2}{2} \bold{n} \times(\bold{n} \times \bold{v}) + \frac{\phi^3}{6} \bold{n} \times(\bold{n} \times(\bold{n} \times \bold{v})) + \cdots$

Vždy byl tedy doplněn potřebný počet závorek. Lze této řady jze snadno nahlédnout, že zkoumaná exponenciála představuje operátor rotace (proti směru hod. ručiček) o úhel $φ$ kolem osy $\bold{n}$ . Pomocí tohoto operátoru jsme tedy schopniotáčet vektory.

Vidíme zde úzkou souvislost vektorového součinu a rotace.

Podobným postupem by šel odvodit operátor, který zrotuje funky definovanou v prostoru kolem určité osy, například třetí. Pak ve sférických souřadnicích zjevně podle prvního příkladu platí:

$\exp \left(-a\frac{d}{d\phi}\right)f(r,\theta,\phi)= f(r,\theta,\phi-a)$

Tento operátor tedy rotuje funkci kolem třetí osy proti směru hodinových ručiček.

Z definiičního vztuhu pro sférické souřadnice lze derivaci $\frac{d}{d\phi}$ vyjádřit i pomocí kartézských souřadnic, konkrétně platí:

$\frac{d}{d\phi}=x\frac{d}{dy}-y \frac{d}{dx}= \left[(x,y,z)\times (\frac{d}{dx},\frac{d}{dy},\frac{d}{dz})\right]_z = \left[\bold{r} \times \frac{d}{d\bold{r}})\right]_z$

Poslední výraz představuje třetí komponentu určitého vektoru, dalo by se ukázat, že pro rotaci kolem osy x by bylo nutno vzít první komponentu tohoto vektoru atd. Pro operátor rotace funkce kolem obecné osy pak proto platí:

$R(\bold{n},a)= \exp (-a \bold{n} \cdot ( \bold{r} \times \frac{d}{d\bold{r}}) )$

Již bylo řečeno, že v kvantové mechanice představuje v souřadnicové reprezentaci derivace podle souřadnic v podstatě operátor hybnosti, operátor $\bold{r} \times \frac{d}{d\bold{r}}$ tedy bude až na konstantu představovat operátor momentu hybnosti. Jak vidíme, stejně jako operátor hybnosti souvisí přes exponenciálu s posunutím, operátor momentu hybnosti souvisí zase s rotací.

Mnoho rovnic v přírodě je lineárních, máme-li např. obecně soustavu rovnic:

$\frac{d}{dt} Y = A Y$

Kde Y je vektorem neznámých funkcí a A čtvercová konstantní matice. Řešení této rovnice můžeme okamžitě psát stejně jako v jednorozměrném případě:

$Y (t) = exp(t A) Y 0$

Kde $Y 0$ je vektorem počáteční podmínky (v čase 0) a v argumentu exponenciály je matice. Tento výraz můžeme vypočítat například pomací řady, jak bylo popsáno výše.

Analogií tohoto problému v nespočetné dimenzi je třeba rovnice vedení tepla:

$\frac{d}{dt}u=C \Delta u$

Kde u je neznámá funkce polohy a času (teplota), C nějaká kladná konstanta. Řečení napíšeme zcela analogicky jako minule:

$u (t) = exp(C t Δ) u 0$

Kde u_0 je teplota v čase 0, podivnou exponenciálu Laplaceova operátoru můžeme opět vyčíslit pomocí řady.

Podobnou strukturu má i Schrödingerova rovnice v kvantové mechanice, která zní:

$i \hbar \frac{d}{dt}\psi= H \psi$

Kde $ψ$ je vlnová funkce a H linerání operátor (hamiltonián) nezavisející na čase, řešení je dáno obdobně jako v minulých příkladech:

$\psi= \exp \left(\frac{t}{i \hbar}H \right) \psi_0$

Funkce $ψ 0$ popisuje počáteční vlnovou funkci. Vidíme tedy, že exponenciála hamiltoniánu (operátoru energie) určije v kvantové mechanice časový vývoj.

Na předchozích řádcích je dobře patrná síla matematické abstrakce.

[editovat] Související články

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Exponenciální funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Obsah

[editovat] Vlastnosti

[editovat] Graf exponenciální funkce

[editovat] Exponenciální rovnice

[editovat] Tečna k exponenciále

[editovat] Exponenciála o základu e

[editovat] Exponenciála operátorů

[editovat] Související články

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích