Goniometrická rovnice

Goniometrická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v goniometrické funkci. K vyřešení goniometrické rovnice se používá jednotková kružnice.

Příklad, jak může goniometrická rovnice vypadat:

$(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0$

Řešení goniometrické rovnice

Jednoduché rovnice

1. rovnice

1. $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $x_1 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$
3. $x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$

2. rovnice

1. $\textrm{tg}\, x = -\sqrt{3}$
2. $x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k\in\mathbb{Z}$

Substituce

1. rovnice

1. $(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0$
2. Zavedeme substituci $a = \sin x$:
   $a^{2} + 2a - 3 = 0$
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$
   
   $a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
   
   $a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. $\sin x = 1$
   2. $\sin x = -3$
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. $\sin x = 1$
      $x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi$
   2. $\sin x = -3$
      $x = \phi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

2. rovnice

1. $\sin (x + \frac{\pi}{6}) = 1$
2. Zavedeme substituci $a = x + \frac{\pi}{6}$:
   $\sin a = 1$
3. $a = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
4. Dosadíme substituci $a = x + \frac{\pi}{6}$:
   $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
5. $a = x + \frac{\pi}{6}$:
   $x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi - \frac{\pi}{6}$
6. $x = \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$
7. $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Vybrané (nejpoužívanější) vzorce

Podrobnější informace naleznete v článku Goniometrická funkce #Vybrané vzorce z oblasti goniometrie.

• Záporné hodnoty úhlů
  • $\sin(-\alpha) = - \sin \alpha\,\!$
  • $\cos(-\alpha) = \cos \alpha\,\!$
  • $\mathrm{tg}(-\alpha) = - \mathrm{tg}\,\alpha\,\!$
  • $\mathrm{cotg}(-\alpha) = - \mathrm{cotg}\,\alpha\,\!$
• Vzájemné vztahy mezi goniometrickými funkcemi stejného úhlu
  • $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\,\!$
  • $\mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{cotg}\,\alpha = 1\,\!$
  • $\textrm{tg}\, \alpha = \frac {\sin \alpha} {\cos \alpha}\,\!$
  • $\textrm{cotg}\, \alpha = \frac {\cos \alpha} {\sin \alpha}\,\!$
  • $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$
  • $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$
  • $\textrm{tg}\, \alpha = \frac {1}{\textrm{cotg}\, \alpha} \,\!$
• Dvojnásobný úhel
  • $\sin 2\alpha = 2\cdot \sin \alpha \cos \alpha\,\!$
  • $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\,\!$
• Poloviční úhel
  • $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\,\!$
  • $\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\,\!$
• Mocniny goniometrických funkcí
  • $\sin^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 \alpha)$
  • $\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \alpha)$
• Goniometrické funkce součtu a rozdílu úhlů
  • $\sin \left(\alpha \pm \beta\right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\,\!$
  • $\cos \left(\alpha \pm \beta\right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,\!$

Kvadranty a hodnoty funkcí ve vybraných úhlech

Jednotková kružnice

Kvadrant	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0° - 90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90° - 180°	+	-	-	-
3. kvadrant	180° - 270°	-	-	+	+
4. kvadrant	270° - 360°	-	+	-	-

Stupně	Radiány	Sinus	Kosinus	Tangens	Kotangens
0	$0\,$	$0\,$	$1\,$	$0\,$	$-\,$
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1\,$	$1\,$
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	$1\,$	$0\,$	$-\,$	$0\,$
120	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
135	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1\,$	$-1\,$
150	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$
180	$\pi\,$	$0\,$	$-1\,$	$0\,$	$-\,$
210	$\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
225	$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1\,$	$1\,$
240	$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
270	$\frac{3\pi}{2}$	$-1\,$	$0\,$	$-\,$	$0\,$
300	$\frac{5\pi}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
315	$\frac{7\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1\,$	$-1\,$
330	$\frac{11\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{3}$

Související články

• Goniometrie
• Goniometrické funkce
• Kvadrant
• Jednotková kružnice
• Substituce (matematika)
• Rovnice
• Kvadratická rovnice