Integrální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Integrální rovnice je v matematice taková rovnice, v níž se neznámá funkce nachází pod integrálem. Integrální rovnice úzce souvisejí s diferenciálními rovnicemi a některé problémy mohou být formulovány oběma způsoby (např. Maxwellovy rovnice).

Za zakladatele teorie integrálních rovnic se považuje Erik Ivar Fredholm, později k ní významně přispěl Vito Volterra.

Klasifikace integrálních rovnic[editovat | editovat zdroj]

Integrální rovnice lze rozdělit na dvě základní třídy: Fredholmovy integrální rovnice a Volterrovy integrální rovnice. U Fredholmových rovnic má interval integrace konstantní hranice, u Volterrových rovnic je pak jedna z hranic funkcí proměnné x.

Další dělení je na rovnice prvního a druhého druhu. V rovnicích prvního druhu se neznámá funkce nachází jen pod integrálem, v rovnicích druhého druhu se nachází pod integrálem i mimo integrál.

Fredholmovy rovnice prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Nejzákladnějším typem integrálních rovnic jsou Fredholmovy rovnice prvního druhu. Jsou to integrální rovnice tvaru

 f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt,

kde \varphi je neznámá funkce, f je známá funkce a K je další funkce o dvou proměnných, často nazývaná také jaderná funkce. Rozsah integrace má konstantní hranice.

Fredholmovy rovnice druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou rovnice s konstantním rozsahem integrace a s neznámou funkcí nacházející se jak v integrandu, tak i mimo něj. Jsou to integrální rovnice tvaru

 \varphi(x) =  f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Číslo \lambda je neznámý parametr, který hraje stejnou roli jako vlastní číslo v lineární algebře. Význam ostatních symbolů je stejný, jako u rovnic prvního druhu.

Volterrovy rovnice prvního druhu[editovat | editovat zdroj]

Volterrovy rovnice prvního druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic prvního druhu, ve kterém je jedna z hranic integračního rozsahu funkcí proměnné x. Volterrovy rovnice prvního druhu mají tvar:

 f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Volterrovy rovnice druhého druhu[editovat | editovat zdroj]

Volterrovy rovnice druhého druhu jsou zobecněním Fredholmových rovnic druhého druhu. Jedna z hranic integračního rozsahu je funkcí proměnné x. Rovnice tohoto typu mají tvar:

 \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,dt.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Integrálna rovnica na slovenské Wikipedii.