Integrální rovnice

Integrální rovnice označuje v matematice takovou rovnici, v níž se neznámá funkce vyskytuje za integrálem.

Mezi diferenciálními rovnicemi a integrálními rovnicemi existuje úzký vztah. Mnohé problémy lze formulovat jak ve formě diferenciálních rovnic, tak ve formě integrálních rovnic (např. Maxwellovy rovnice).

Přehled

Nejjednodušším typem integrální rovnice je Fredholmova integrální rovnice prvního druhu, kterou lze zapsat jako

$f(x) = \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t$,

kde $\varphi$ je hledaná funkce, $f$ je funkce zadaná na intervalu $\langle a,b\rangle$ a $K$ je jiná známá funkce dvou proměnných, která se obvykle označuje jako jádro integrální rovnice. Integrační meze neobsahují proměnnou.

Pokud se hledaná funkce vyskytuje nejen v integrálu, ale také mimo něj, pak dostáváme Fredholmovu rovnici druhého druhu, tedy

$\varphi(x) = f(x)+ \lambda \int_a^b K(x,t)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t$,

kde parameter $\lambda$ je neznámá veličina, která hraje stejnou roli jako vlastní hodnoty v lineární algebře.

Je-li jednou z integračních mezí proměnná, pak se takové rovnice označují jako Volterrovy integrální rovnice. Volterrovy rovnice prvního druhu, resp. Volterrovy rovnice druhého druhu pak mají tvar

$f(x) = \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t$

$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t$

Pokud je v libovolném z předchozích příkladů funkce $f(x)$ na celém intervalu identicky rovna nule, pak se jedná o homogenní integrální rovnici. Pokud není tato funkce všude nulová, pak se jedná o nehomogenní integrální rovnici.

Klasifikace integrálních rovnic

Integrální rovnice lze dělit podle několika kritérií.

Charakter integrační meze

Podle toho, zda jsou meze integrace pevné nebo proměnné se integrální rovnice dělí na

• Fredholmovy rovnice - obě integrační meze jsou pevné
• Volterrovy rovnice - alespoň jedna integrační mez obsahuje proměnnou

Umístění neznámé funkce

Podle umístěná hledané funkce lze integrální rovnice rozdělit na

• prvního druhu - hledaná funkce se vyskytuje pouze uvnitř integrálu
• druhého druhu - hledaná funkce se vyskytuje uvnitř integrálu i mimo něj

Hodnota známé funkce f

Podle toho, jakých hodnot v dané oblasti nabývá známá funkce $f$ lze integrální rovnice rozdělit na

• homogenní - funkce $f$ je na celé oblasti identicky rovna nule
• nehomogenní - funkce $f$ není na celé oblasti identicky rovna nule

Lineární a nelineární rovnice

• lineární integrální rovnice
• nelineární integrální rovnice

Příkladem nelineární integrální rovnice je

$\varphi(x) - \int_a^b G\left(t,x,\varphi(t)\right)\,\mathrm{d}t = f(x)$

Počet proměnných

• integrální rovnice jedné proměnné
• integrální rovnice více proměnných

Integrodiferenciální rovnice

Pokud se v integrální rovnici vyskytují také derivace neznámé funkce, pak se hovoří o integrodiferenciální rovnici.

Příkladem integrodiferenciální rovnice může být rovnice

$\varphi^\prime(x) + \varphi(x) - \lambda\int_a^b K(x,t)\left[\varphi(t) + \varphi^\prime(t)\right]\,\mathrm{d}t = f(x)$

Využití

Integrální rovnice hrají důležitou úlohu při řešení mnoha teoretických i praktických problémů. Např. při řešení kmitání strun nebo membrán.

Související články

• Integrální počet
• Diferenciální rovnice