Integrál

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Integrál jako plocha pod křivkou.

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky. Spolu s derivací tvoří dvě hlavní operace matematické analýzy. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma.

Mějme funkci ƒ reálné proměnné x na intervalu [ab]. Pod pojmem (určitý) integrál

\int_a^b \! f(x)\,dx \,

rozumíme obsah plochy ve dvojrozměrné rovině, který je omezen grafem funkce ƒ, osou x a svislými přímkami x = a a x = b.

Pojmem integrál se občas označuje primitivní funkce F, jejíž derivací je funkce ƒ. To celé se pak nazývá neurčitý integrál a zapisuje se

F = \int f(x)\,dx.

Integrály, o nichž se píše níže, jsou určité integrály.

Principy integrování byly poprvé formulovány nezávisle na sobě Isaacem Newtonem a Gottfriedem Leibnizem na konci 17. století. Nezávisle vyvinuli Základní větu analýzy, díky níž spojili diferenciální a Integrální počet. Věta zní asi takto: Nechť ƒ je spojitá reálná funkce na uzavřeném intervalu [ab] a funkce F je primitivní k funkci ƒ. Potom hodnota (určitého) integrálu funkce ƒ na tomto intervalu je

\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,

nebo je-li c\in <a;b> pak \int_a^c \! f(x)\,dx + \int_c^b \! f(x)\,dx = F(b) -F(a)

Názorné vysvětlení[editovat | editovat zdroj]

Plocha pod křivkou[editovat | editovat zdroj]

Jednoduše řečeno, je určitý integrál nezáporné funkce jedné proměnné f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem ſ (tzv. dlouhé s) (z latinského ſumma, summa). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako \int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x, kde znaménko ∫ značí integrování, a a b jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

Klasický "určitý" integrál[editovat | editovat zdroj]

Definice[editovat | editovat zdroj]

Existuje mnoho ekvivalentních definic určitého integrálu.

Aj.

Tyto definice se liší množinou funkcí, které jsou podle nich integrovatelné, ale pokud pro několik definicí funkce integrovatelná je, pak je hodnota integrálu stejná.

Neurčitý integrál[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Primitivní funkce.

Termínem "neurčitý integrál" funkce f se v Česku často rozumí množina jejích primitivních funkcí. Tento zvyk vznikl nejspíše proto, že při výpočtu integrálů "hezkých" funkcí se často využívá primitivních funkcí, a to díky Základní větě analýzy.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Aplikace integrálu.

Možnosti použití určitého integrálu jsou velmi rozsáhlé.

Pomocí určitého integrálu lze určit např. obsah rovinného obrazce, délku oblouku rovinné křivky, obsah rotační plochy nebo objem rotačního tělesa.

Ve fyzice pak určitý integrál můžeme použít při výpočtu např. statických momentů, momentů setrvačnosti, těžiště tělesa nebo hmotnosti.

Newtonův integrál[editovat | editovat zdroj]

Pokud primitivní funkce v jedné z mezí nemá limitu, pak se Newtonův integrál definuje pomocí jednostranné limity, například u spodní meze takto (F je primitivní funkce k f):

\int\limits_a^b f(x)dx = \lim_{t\to a+}\int\limits_t^b f(x)dx  \,\!

Například \int\limits_0^1\frac 1xdx=+\infty, \,\, 
                \int\limits_0^1\frac 1{\sqrt x}dx=2\,\!

Podobně je tomu, pokud některá z mezí leží v nekonečnu:

\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t\to +\infty}\int\limits_a^t f(x)dx  \,\!

Například \int\limits_1^{+\infty}\frac 1xdx=+\infty, \,\, 
                \int\limits_1^{+\infty}\frac 1{x^2}dx=1\,\!

Složitější typy určitého integrálu[editovat | editovat zdroj]

Křivkový integrál[editovat | editovat zdroj]

Komplexní integrál[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Integrál komplexní funkce.

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Vícerozměrný integrál[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Vícerozměrný integrál.

Integraci pro funkce více proměnných lze zavést podobně jako pro funkce jedné proměnné. Integrace probíhá vždy na určité oblasti \displaystyle\Omega. Je-li \displaystyle f(x_1,x_2,...,x_n) funkcí \displaystyle n proměnných, pak její integrál na určité n-rozměrné oblasti \displaystyle\Omega označujeme jako vícerozměrný (n-rozměrný, např. dvourozměrný, trojrozměrný apod.) integrál, přičemž jej zapíšeme některým z následujících způsobů

{\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega = {\iint\cdots\int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots \mathrm{d}x_n = {\iint \cdots \int}_{\!\!\!\Omega} f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}^n x

Počet integračních znaků \int odpovídá počtu proměnných, přes které integrujeme. Je-li ze zápisu integrálu zjevné, že se jedná o vícerozměrný integrál, pak zapisujeme pouze jeden integrační znak, např.

\int_\Omega f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\,\mathrm{d}\Omega \,

Vícerozměrné integrály se obvykle řeší převodem na vícenásobnou integraci pomocí Fubiniovy věty.

Vztah mezi určitým a neurčitým integrálem[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Základní věta integrálního počtu.

Fyzikální význam[editovat | editovat zdroj]

Určitý i neurčitý integrál se využívá v řadě fyzikálních definic - například určitý integrál síly podle polohy je vykonaná práce, neurčitý integrál ze zrychlení je rychlost apod.

Určitý integrál z rychlosti podle času je roven změně polohy během časového úseku od t1 do t2. Pokud polohu v závislosti na čase označíme x(t)\,\!, platí tedy

x(t_2)-x(t_1) = \int\limits_{t_1}^{t_2}v(t) \,dt\,\!

Tento vzorec je zobecněním známého vztahu pro pohyb konstantní rychlostí

x(t_2)-x(t_1) = v\cdot (t_2-t_1)\,\! neboli \triangle x= v \cdot \triangle t\,\!

Tyto vzorce se liší pouze v tom, že ten, který využívá integrál, lze použít i pro pohyb proměnlivou rychlostí.

Neurčitý integrál z rychlosti podle času je poloha. Argumentem integrálu je zde funkce představující závislost rychlosti na čase; výsledkem je množina funkcí, které představují závislost polohy na čase. Těchto funkcí (zvaných primitivní funkce) je nekonečně mnoho, jedna pro každou možnou počáteční polohu objektu. (To odpovídá fyzikální realitě, že ze znalosti rychlosti lze spočítat polohu objektu v čase t, jen pokud známe jeho polohu v nějakém čase t0.)

Příklad: Pokud se těleso pohybuje volným pádem, pak jeho rychlost je v(t) = -g.t\,\!, kde g\,\! je tíhové zrychlení a znaménko mínus vyjadřuje směr dolů. Pro polohu pak platí:

x(t) = \int v(t)dt  \,=\, \int -g.t\, dt = -\frac12 g t^2 + c  \,\!

Číslo c \,\! se nazývá integrační konstanta, za níž dosazením různých hodnot dostaneme různé možné závislosti polohy na čase. Například funkce x(t) =  -\frac 12 g t^2 + 50  \,\! popisuje volný pád z výšky 50 metrů.

Určitý integrál lze spočítat jako rozdíl dvou hodnot neurčitého integrálu. Například výpočet dráhy uražené mezi časem 3 sekundy a 5 sekund se spočte tak, že zvolíme libovolnou z primitivních funkcí (zde je nejpřirozenější volit x(t) =  -\frac 12 g t^2 \,\! ) a spočteme její rozdíl v obou časových mezích:

 \int\limits_{3}^{5} -g.t \, dt\,\! = x(5) - x(3) = -\frac 12 g 5^2 - (-\frac 12 g 3^2) = -8.g

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]