Substituční metoda (integrování)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Substituční metoda je metoda používaná při počítání s integrály. Při této metodě zavádíme do integrálu novou proměnnou.

Pokud lze funkci f(x) vyjádřit na intervalu (a,b) ve tvaru f(x) = g(h(x))h^\prime(x), kde h^\prime(x) je spojitá v intervalu (a,b) a g(z) je spojitá pro všechna z=h(x), pak pro x \in (a,b) platí

\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C,

kde byla použita substituce z=h(x).

Jiným případem je substituce x=\phi(z), kde funkce \phi je monotónní pro všechna z z intervalu (\alpha,\beta) a má na tomto intervalu spojitou derivaci \phi^\prime. Potom platí

\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C

Výsledek získáme tak, že ze vztahu x=\phi(z) vyjádříme proměnnou z a dosadíme do H(z) + C.

Substituce ve vícerozměrných integrálech[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme uzavřenou n-rozměrnou oblast M v proměnných x_i pro i=1,2,...,n, a uzavřenou n-rozměrnou oblast N v proměnných y_i. Mezi oblastmi M a N nechť existuje vzájemně jednoznačné zobrazení x_i = \phi_i(y_1,y_2,...,y_n), přičemž existují spojité parciální derivace prvního řádu \frac{\part \phi_i}{\part y_j} pro všechna i, j a jakobián \frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} je nenulový, tzn. \frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0. Pokud je na oblasti M definována spojitá ohraničená funkce f(x_1,x_2,...,x_n), pak

{\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n

V případě dvojného integrálu, kdy mezi oblastí M o souřadnicích x, y a oblastí N o souřadnicích u, v existuje vzájemně jednoznačné zobrazení x=x(u,v), y=y(u,v), má jakobián tvar

\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part x}{\part v} \\ \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part y}{\part v} \end{vmatrix}

Je-li \frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0, pak dostaneme pro funkci f(x,y)

\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v

V případě trojného integrálu, kdy mezi oblastí M o souřadnicích x, y, z a oblastí N o souřadnicích u, v, w existuje vzájemně jednoznačné zobrazení x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), má jakobián tvar

\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part x}{\part w} \\ \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part y}{\part w} \\ \frac{\part z}{\part u} & \frac{\part z}{\part v} & \frac{\part z}{\part w} \end{vmatrix}

Je-li \frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0, pak pro funkci f(x,y,z) dostaneme výraz

\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]