Vektorové pole

Vektorové pole - každému bodu roviny je přiřazen vektor.

Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.

Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.

Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).

Transformace pole

Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice $\{x_i\}$ a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, t.j. $\sum_j a_j \frac{\partial}{\partial x_j}$. Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako $\sum_j f_j(\{x_i\}_i) \frac{\partial}{\partial x_j}$, t.j. je reprezentováno funkcemi $f_i$ (což jsou souřadnice vektorů). Nechť $\{x_i'\}_i$ jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi $\{x_i'\}_i$ má v starých souřadnicích zápis $\{x_i\}_i=\psi(\{x_i'\}_i)$ kde $\psi$ je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako $\sum_j \sum_i f_i\circ\psi(\{x_k'\}_k) \frac{\partial x_j'}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j'}.$

Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).

Související články

• Vektor
• Tenzorové pole