Gaussova věta

Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost tok vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole.

$\oint_\Sigma \mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V ({\nabla\cdot\mathbf{A}}) \mathrm{d}V$,

kde $\nabla \cdot \mathbf{A}$ je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. $\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{n}\mathrm{d}S$ a n je vektor vnější normály plochy, a je regulární a otevřená.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A.

Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem

$\int_V \nabla f \mathrm{d}V = \oint_S f \mathrm{d}\mathbf{S}$

Pro tenzorovou veličinu $T_{ij}$ využijeme toho, že po kontrakci je $T_{ij}\mathrm{d}S_j$ tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako

$\int_V \mathrm{d}V \frac{\part}{\part x_j} T_{ij} = \oint_S T_{ij} \mathrm{d}S_j$

Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah

$\int_V \mathrm{rot}\, \mathbf{A} \mathrm{d}V = - \oint_S \mathbf{A} \times \mathrm{d}\mathbf{S}$

G-O věta ve 3D

$\int \int_{\partial \Omega} \Phi \vec{n} dS=\int \int \int_\Omega div\Phi dV$
kde $\vec{n}$ je vnější normála na povrch S prostoru $\Omega$ o objemu V.

Jinými slovy

Tok přes hranici A prostoru $\Omega$ je roven součtu zřídel a propadů v tomto prostoru.