Elementární funkce

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtením, odečtením, vynásobením, podělením a složením z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako "základní".

Neboť goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady [editovat]

$\frac{e^{\tan(x)}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\,\right)$
$\,\ln(-x^2).$
Příkladem funkce, která není elementární je chybová funkce. $\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt,$

Vlastnosti [editovat]

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti.

Všechny elementární jsou diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů.
Neboť jsou spojité na každém vnitřním intervalu definičního oboru, tak na těchto intervalech existuje i primitivní funkce (jsou integrovatelné).

Příklad: Mějme funkci $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt{\sin^2(x)} = \left|\sin(x)\right|$ . Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů $x = k\pi\,$ , kde $k\,$ je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.