Hyperbolické funkce

Přímka vedená z počátku protíná hyperbolu $\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1$ v bodě $\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)$, kde $\scriptstyle a$ je dvojnásobek plochy vymezené přímkou a osou $\scriptstyle x$. Pro body hyperboly pod osou $\scriptstyle x$ je plocha brána jako záporná.

Jako hyperbolické funkce se v matematice označuje skupina několika funkcí analogicky podobných k funkcím goniometrickým. Základními funkcemi jsou hyperbolický sinus (sinh) a kosinus (cosh), ze kterých je odvozen hyperbolický tangens (tanh), kotangens (coth), sekans (sech) a kosekans (csh). Inverzní funkce k funkcím hyperbolickým se označují jako hyperbolometrické funkce.

Stejně jako sinus a kosinus definují body jednotkové kružnice, hyperbolický sinus a kosinus definují body pravé části rovnoosé hyperboly. Parametrem těchto funkcí je tzv. hyperbolický úhel.

Hyperbolické funkce se často objevují v řešení některých diferenciálních rovnic, jako je např. definice řetězovky.

Definice hyperbolických funkcí

sinh, cosh a tanh

sinh, cosh a tanh

Hyperbolické funkce jsou definovány následovně:

• Hyperbolický sinus:

$\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}$

• Hyperbolický kosinus:

$\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}$

• Hyperbolický sekans:

$\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}$

• Hyperbolický kosekans:

$\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}$

kde e je Eulerovo číslo.

Hyperbolické funkce mohou být také definovány pomocí imaginárního úhlu:

• Hyperbolický sinus:

$\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolický kosinus:

$\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolický tangens:

$\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolický kotangens:

$\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \!$

• Hyperbolický sekans:

$\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!$

• Hyperbolický kosekans:

$\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!$

kde i je imaginární číslo definované jako i² = −1.

Tyto komplexní tvary jsou odvozeny z Eulerova vzorce.

Užitečné vztahy

Sudost

$\cosh(-x) = \cosh x\,\!$

$\operatorname{sech}(-x) = \operatorname{sech}\, x\,\!$

Lichost

$\sinh(-x) = -\sinh x\,\!$

$\tanh(-x) = -\tanh x\,\!$

$\coth(-x) = -\coth x\,\!$

$\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!$

Hyperbolický sinus a kosinus splňují podmínku:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,$

a podobně:

$\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x$

$\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x$

Derivace

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}$

$\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}$

Standardní integrály

Pro kompletní seznam integrálů přejděte na Seznam integrálů hyperbolických funkcí.

$\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C$

$\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C$

$\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C$

$\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}$

$\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C$

$\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C$

kde C je integrační konstanta.

Související články

• Hyperbola
• Hyperbolický sinus
• Hyperbolický kosinus
• Goniometrické funkce

Reference

• V tomto článku je použit překlad textu z článku Hyperbolic function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• (anglicky)Hyperbolické funkce na PlanetMath
• (anglicky)Hyperbolické funkce na MathWorld