Hyperbolická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Hyperbolické funkce jsou funkce:

Hyperbolický sinus ( $s i n h$ )
Hyperbolický kosinus ( $c o s h$ )
Hyperbolický tangens ( $t g h$ , též se značí $t a n h$ )
Hyperbolický kotangens ( $c o t g h$ , též se značí $c o t a n h$ )

Jejich název pocházi z toho, že umožňují vhodně parametrizovat hyperbolu. Máme-li hyperbolu

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1$ ,

pak lze její rameno odpovídající kladným x parametrizovat takto

$x = a cosh t$

$y = b sinh t$ ,

kde parametr $t$ probíhá množinu reálných čísel.

Připomeňme, že v případě goniometrických funkcí by obdobnou parametrizací byla určena elipsa.

[editovat] Vztahy mezi hyperbolickými funkcemi

Základní vztahy mezi hyperbolickými funkcemi

cosh 2 x - sinh 2 x = 1

$\mathrm{tgh} x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{1}{\mathrm{cotgh} x}$ pro $x \neq 0$

$\mathrm{cotgh} x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{1}{\mathrm{tgh} x}$ pro $x \neq 0$

tgh x cotgh x = 1

pro $x \neq 0$

$1 - {\mathrm{tgh}}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

${\mathrm{cotgh}}^2 x - 1 = \frac{1}{\sinh^2 x}$

(sinh x + cosh x) n = sinh n x + cosh n x

pro $x \in N$

Vyjádření hyperbolické funkce jinou hyperbolickou funkcí:

$\sinh x = \sqrt{\cosh^2 x - 1} = \frac{\mathrm{tgh} x}{\sqrt{1 - {\mathrm{tgh}}^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{cotgh}}^2 x} - 1}$

$\cosh x = \sqrt{\sinh^2 x + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 - {\mathrm{tgh}}^2 x}} = \frac{\mathrm{cotgh} x}{\sqrt{{\mathrm{cotgh}}^2 x} - 1}$

$\mathrm{tgh} x = \frac{\sinh x}{\sqrt{\sinh^2 x + 1}} = \frac{\sqrt{\cosh^2 x - 1}}{\cosh x} = \frac{1}{\mathrm{cotgh} x}$

$\mathrm{cotgh} x = \frac{\sqrt{\sinh^2 x + 1}}{\sinh x} = \frac{\cosh x}{\sqrt{\cosh^2 x - 1}} = \frac{1}{\mathrm{tgh} x}$

Součet a rozdíl hyperbolických funkcí

$\sinh x \pm \sinh y = 2 \sinh \frac{x \pm y}{2} \, \cosh \frac{x \mp y}{2}$

$\cosh x + \cosh y = 2 \cosh \frac{x + y}{2} \, \cosh \frac{x - y}{2}$

$\cosh x - \cosh y = - 2 \sinh \frac{x + y}{2} \, \sinh \frac{x - y}{2}$

$\mathrm{tgh} x \pm \mathrm{tgh} y = \frac{\sinh (x \pm y)}{\cosh x \, \cosh y}$

$\mathrm{cotgh} x \pm \mathrm{cotgh} y = \frac{\sinh (x \pm y)}{\sinh x \, \sinh y}$

Hyperbolické funkce součtu a rozdílu

$\sinh (x \pm y) = \sinh x \, \cosh y \pm \cosh x \, \sinh y$

$\cosh (x \pm y) = \cosh x \, \cosh y \pm \sinh x \, \sinh y$

$\mathrm{tgh} (x \pm y) = \frac{\mathrm{tgh} x \pm \mathrm{tgh} y}{1 \pm {\mathrm{tgh} x}\,{\mathrm{tgh} y}}$

$\mathrm{cotgh} (x \pm y) = \frac{1 \pm {\mathrm{cotgh} x}\,{\mathrm{cotgh} y}}{\mathrm{cotgh} x \pm \mathrm{cotgh} y}$

Hyperbolické funkce dvojnásobného argumentu lze z předchozích vztahů získat

$\sinh 2x = 2 \sinh x \, \cosh x$

cosh2 x = cosh 2 x + sinh 2 x

$\mathrm{tgh} 2x = \frac{2 \mathrm{tgh} x}{1 + {\mathrm{tgh}^2 x}}$

$\mathrm{cotgh} 2x = \frac{1 + {\mathrm{cotgh}^2 x}}{2 \mathrm{cotgh} x}$

Pro poloviční argumenty platí vztahy

$\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$

$\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}$

$\mathrm{tgh} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1}$

$\mathrm{cotgh} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{\cosh x - 1}} = \frac{\cosh x + 1}{\sinh x} = \frac{\sinh x}{\cosh x - 1}$

Hyperbolické funkce lze podobně jako goniometrické funkce vyjádřit pomocí funkce $e x$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

[editovat] Související články

[editovat] Literatura

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Tento matematický článek je příliš stručný nebo neobsahuje důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte.

Hyperbolická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

[editovat] Vztahy mezi hyperbolickými funkcemi

[editovat] Související články

[editovat] Literatura

Zobrazení

Osobní nástroje

Hledání

Navigace

Nástroje

V jiných jazycích