Hyperbola

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o rovinné křivce. O literárním pojmu pojednává článek Hyperbola (literatura).
Hyperbola jako kuželosečka.
Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce y=1/x v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem - tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Matematická vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Implicitní vyjádření

\| F_1X \| - \| F_2X \| = 2a \,\!

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek F_1 a F_2 konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém[editovat | editovat zdroj]

Standardní popis hyperboly:

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.

S[m, n] - Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F1, F2 - ohniska hyperboly
A, B - vrcholy hyperboly
o1 - hlavní osa hyperboly
o2 - vedlejší osa hyperboly
p1, p2 - asymptoty hyperboly
|AS| = |SB| = a \,\! - délka hlavní poloosy
|CS| = |SD| = b \,\! - délka vedlejší poloosy
|F_1S| = |F_2S| = \sqrt{a^2 + b^2} = e \,\! excentricita
|AB| = 2a \,\! - délka hlavní osy
|CD| = 2b \,\! - délka vedlejší osy
X[x, y] - libovolný bod náležící hyperbole

Pokud a=b, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění[editovat | editovat zdroj]

Středová rovnice:
{(x - m)^2\over a^2} - {(y - n)^2\over b^2} = 1 \,\!
Obecná rovnice:
Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!
Rovnice asymptot:
y - n = \pm{b\over a}(x - m) \,\!
Rovnice tečny v bodě T[x_0, y_0]:
{(x - m)(x_0 - m)\over a^2} - {(y - n)(y_0 - n)\over b^2} = 1 \,\!
  • Hlavní osa o_1 hyperboly rovnoběžná s osou y
Středová rovnice:
{(y - n)^2\over a^2} - {(x - m)^2\over b^2} = 1 \,\!
Obecná rovnice:
- Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\;, A > 0, B > 0 \,\!
Rovnice asymptot:
y - n = \pm{a\over b}(x - m) \,\!
Rovnice tečny v bodě T[x_0, y_0]:
{(y - n)(y_0 - n)\over a^2} - {(x - m)(x_0 - m)\over b^2} = 1 \,\!
Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x
Středová rovnice:
(x - m)(y - n) = c \,\!
a = b = \sqrt{2|c|} \,\!
Obecná rovnice:
xy + Ax + By + C = 0 \,\!
Rovnice asymptot:
x = m, y = n \,\!

Převedení obecné rovnice na středovou[editovat | editovat zdroj]

Uspořádáme členy v rovnici.

2x^2 + 4x - y^2 + 3y - {17\over 4} = 0 \,\!

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.

2\left[{(x + 1)}^2 - 1\right] -\left[{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 - {9\over 4}\right] = {17\over 4} \,\!

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

2(x + 1)^2 - 2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 + {9\over 4} = {17\over 4} \,\!
2(x + 1)^2 - {\left(y - {3\over 2}\right)}^2 = 4 \,\!
{(x + 1)^2 \over 2} - {{\left(y - {3\over 2}\right)}^2 \over 4} = 1 \,\!

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa o_1 je rovnoběžná s osou x.
S\left[-1, {3\over 2}\right] \,\!, a = \sqrt{2} \,\!, b = 2 \,\!, e = \sqrt{6} \,\!, p_1: y = \sqrt{2}x + {3 + 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!, p_2: y = - \sqrt{2}x + {3 - 2\sqrt{2}\over 2 } \,\!

Vzájemná poloha hyperboly a přímky[editovat | editovat zdroj]

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot - přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant D je:

  • D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
  • D < 0 žádné řešení - přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu[editovat | editovat zdroj]

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém[editovat | editovat zdroj]

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

r^2 = {a^2b^2\over b^2 \cos^2 \theta - a^2 \sin^2 \theta } \,\!

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

r = {a(e^2 -1)\over 1 - e \cos \theta } \,\!

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Logo Wikimedia Commons
Wikimedia Commons nabízí obrázky, zvuky či videa k tématu