Asymptota

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Asymptota.

Asymptota.

Asymptota (asymptotická přímka) křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje.

Definice

Mějme bod $T$ rovinné křivky a přímku $p$. Označme vzdálenost bodu $T$ od přímky jako $\nu$. Pokud alespoň jedna souřadnice bodu $T$ roste nade všechny meze a současně $\lim\nu=0$, pak se přímka $p$ nazývá asymptotou.

Asymptota grafu funkce

Asymptotu grafu funkce rozlišujeme se směrnicí a bez směrnice.

Asymptota se směrnicí

Přímka $y = ax + b$ je asymptotou grafu funkce $y=f(x)$ se směrnicí právě tehdy, jestliže platí:

$\lim\limits_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-ax-b)=0$.

Je-li rovnice asymptoty $y = ax + b$, potom platí:

$a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$

$b =\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax)$

Asymptota bez směrnice

Je-li funkce $y=f(x)$ definovaná pro $x \neq a \in \mathsf{R}$, potom graf funkce f má asymptotu bez směrnice právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita v bodě a. Rovnice takové asymptoty je potom

$x = a \,$.

Asymptota kuželosečky

Asymptotou kuželosečky je mezní poloha tečny kuželosečky - přímka, která se ke kuželosečce neomezeně blíží, ale nemá s ní žádný společný bod.

Další asymptoty

Pokud lze rovnici křivky zapsat jako

$y = ax+b+\mu(x)$,

přičemž $\lim_{x\to+\infty}\mu(x)=0$, pak přímka $y=ax+b$ je asymptotou dané křivky.

Platí-li pro křivku $y=f(x)$ vztah $\lim_{x\to\pm\infty}y=b$, pak asymptotou křivky je přímka $y=b$.

Obdobně lze tvrdit, že pokud pro křivku $x=g(y)$ platí $\lim_{y\to\pm\infty}x=c$, pak asymptotou křivky je přímka $x=c$.

Související články

• Průběh funkce
• Asymptotický bod
• Asymptotická křivka
• Asymptotická složitost