Kuželosečka

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice.

Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná.

Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.

(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky.

Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

$a_{11} x^2 + 2 a_{12}xy + a_{22} y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0$,

kde koeficienty $a_{ij}$ jsou reálná čísla, přičemž $a_{ij}=a_{ji}$. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v $x$ a $y$.

Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty.

Uvedená rovnice má tři invarianty:

• determinant kuželosečky

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

• determinant kvadratických členů

$\delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$

• třetím invarientem je

$S = a_{11} + a_{22}$

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty $a_{ij}$, avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny.

Je-li $\Delta\neq 0$, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro $\Delta=0$ jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s $\delta=0$ jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro $\delta\neq 0$ se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček	$\delta\neq 0$ středové kuželosečky		$\delta=0$ nestředové kuželosečky
	$\delta>0$	$\delta<0$
$\Delta\neq 0$ vlastní kuželosečky	$\Delta S < 0$ reálná elipsa	hyperbola	parabola
	$\Delta S > 0$ imaginární elipsa
$\Delta=0$ nevlastní kuželosečky	dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem	dvě reálné různoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33}<0$ dvě různé reálné rovnoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33} = 0$ dvě splývající rovnoběžky	$a_{13}^2 - a_{11}a_{33} > 0$ dvě imaginární rovnoběžky

Související články

• Geometrický útvar

Externí odkazy

• Kuželosečky (pdf)