Limita

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií pojednává článek Limita (teorie kategorií).

Limita je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a a u posloupností \lim_{n\to\infty} a_n=a případně a _n \to a\,.

Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na reálných číslech, obecnější definice má smysl na libovolném metrickém prostoru a ještě obecnější definice na libovolném topologickém prostoru. Tam, kde má smysl více definic, jsou tyto definice ekvivalentní (například reálná čísla jsou metrickým i topologickým prostorem).

Limita posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Limita posloupnosti.

Posloupnost \left( a_n \right) _{n=1} ^\inftylimitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \varepsilon platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než \varepsilon.

Zapsáno symbolicky:

\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon

Příklad: Číslo 1 je limitou posloupnosti (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 …), kterou lze formálně zapsat jako {1-10-j}j.

Limita funkce[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku limita funkce.

Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému \epsilon >0 existuje takové \delta > 0 , že pro všechna x z \delta-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je \left| f(x)-A \right|< \epsilon, .

Limita vzhledem k podmnožině[editovat | editovat zdroj]

(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)

Vlastní a nevlastní limita[editovat | editovat zdroj]

Limitou posloupnosti může být nejen číslo \in \mathbb{R} (tj. vlastní limita), ale i +\infty \,\! nebo -\infty \,\! (nevlastní limita).

Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě +\infty \,\! nebo -\infty \,\!. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo neexistující.

Zobecnění pro topologické prostory[editovat | editovat zdroj]

Limita zobrazení f: A\to B mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako b\in B takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že x\in O(a) implikuje f(x)\in O(b).

Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1].

Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce {\sin x}\over x \,\! není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v +\infty \,\! má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
  • Funkce {\sin x} \,\! je v nule spojitá (limita je 0) a v +\infty \,\! limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci {x \cdot \sin x} \,\!
  • Funkce {\sin {1\over x}} \,\! ani {\sin {1\over x}}\over x \,\! v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích {1\over x}\,\! či {1\over x^3}\,\!, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je +\infty \,\! a levostranná -\infty \,\!. Naproti tomu funkce {1\over x^2}\,\! a {1\over x^4}\,\! mají v nule limitu +\infty \,\! (nevlastní limita ve vlastním bodě).
  • Funkce e^x\,\! má v -\infty \,\! limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v +\infty \,\! limitu +\infty \,\!.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]