Limita funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
x f(x)=\frac{\sin(x)}{x}
1 0.841471
0.1 0.998334
0.01 0.999983
0.001 0.999999
0 nedefinováno (0/0)
-0.001 0.999999
-0.01 0.999983
-0.1 0.998334
-1 0.841471

Funkce (sin x)/x není v bodě 0 definována. Ale když se x blíží k nule, hodnota (sin x)/x se blíží k číslu 1. Jinak řečeno limita funkce (sin x)/x pro x blížící se k nule je 1. (Hodnoty sin x zde počítáme v radiánech.)

Limita funkce slouží v matematice ke zkoumání chování funkcí v okolí určitého bodu. Je to základní pojem v matematické analýze a v diferenciálním a integrálním počtu.

Pokud bereme funkci f jako předpis, který hodnotě x přiřazuje funkční hodnotu f(x), pak f má v bodě p limitu L, jestliže pro x v okolí bodu p jsou hodnoty f(x) blízko L. Matematická definice, navržená na začátku 19. století vyžaduje, aby se pro libovolně malou odchylku od L dalo najít okolí bodu p, že pro každé x v tomto okolí se f(x) liší od L o méně než povolenou odchylku.

Matematicky zapisujeme, že pro x blížící se k p se hodnota f(x) blíží k L výrazem \lim_{x\rightarrow p} f(x)=L.

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“ (viz tabulka s funkcí (sin x)/x vpravo), můžeme funkci opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limit-at-infinity-graph.png

Pojem limity má mnoho aplikací v matematické analýze. Například definice spojitosti používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě. Limity se proto používají pro funkce, které se chovají „nepěkně“; u „pěkných“ (například spojitých) funkcí je možné pracovat přímo s funkčními hodnotami. Jak snadno můžeme dostat „nepěknou“ funkci ukazuje definice derivace: derivace je limita podílu přírůstku funkce při malé změně x (z x na x+h) dělené změnou x:

f'(x) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}

Pokud bychom dosadili za h nulu, dostali bychom výraz nula děleno nulou. Pokud použijeme příliš velký přírůstek h, hodnotu derivace nedostaneme přesně. Použitím malých hodnot h dostaneme hodnotu limity s libovolnou přesností.

Limita reálné funkce reálné proměnné[editovat | editovat zdroj]

Definice podle Cauchyho[editovat | editovat zdroj]

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.
Říkáme, že reálné číslo  A\,\! je limitou funkce f(x): D_f \subseteq \R \to \R\,\! v bodu  a \in \R\,\! , jestliže  a \, leží v uzávěru D_f-\{a\}\,\! a k libovolnému reálnému číslu \epsilon >0\, existuje takové \delta > 0\, , že pro všechna x\in D_f-\{a\}\,\! taková, že \left| x-a \right|< \delta \,\! ( x \, tedy musí ležet v tzv. prstencovém okolí bodu  a \, platí \left| f(x)-A \right|< \epsilon, .

Tato definice říká, že f(x) má v a limitu A, jestliže f(x) se liší od čísla A velmi málo, je-li x hodně blízko bodu a.

Limitu má smysl zkoumat jen v uzávěru definičního oboru D (bez samotného bodu a); jinými slovy, libovolně blízko k bodu a musí být funkce někde definována. Definice neobsahující tuto podmínku by umožnila tvrdit, že funkce f(x)=x definovaná na intervalu \langle 1,5 \rangle \,\! má v bodě 6 limitu -123456 (každé číslo by bylo limitou v každém bodě, který není "nekonečně blízko" k definičnímu oboru).

Definice podle Heineho[editovat | editovat zdroj]

Hlavní myšlenka je problém limity funkce převést na již známý problém limity posloupnosti.

Nechť a je hromadným bodem D(f) (v každém jeho prstencovém okolí leží alespoň jeden bod D(f)). Číslo A nazveme limita funkce f v bodě a právě tehdy když pro každou posloupnost \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f) , x_n \neq a , x_n \rightarrow a platí f(x_n) \rightarrow A.
Značíme \lim_{x \to a} f(x) = A.

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Pokud je limita počítána v definované části funkce, jedná se o funkční hodnotu tohoto místa, právě když je v tom místě funkce spojitá.

Limita v nekonečnu a nevlastní limita[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Limita#Vlastní a nevlastní limita.

Pomocí rozšířených reálných čísel lze definovat limitu i v případě, že a nebo A je kladné nebo záporné nekonečno.

Pro  \lim_{x \to a } f(x) = A rozlišujeme 4 případy, vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě. Pro vlastní limity platí, že A \in \mathbb{R} , pro nevlastní potom  A = \infty nebo  A = -\infty . Pro limity ve vlastním bodě platí  a \in \mathbb{R} , pro limity v nevlastním bodě potom  a = -\infty nebo  a = \infty

Příklad vlastní limity v vlastním bodě ( a \in \mathbb{R}, A \in \mathbb{R} )

 \lim_{x \to 3 } 2x = 6

Příklad nevlastní limity v vlastním bodě ( a \in \mathbb{R}, A = \pm \infty )

 \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2} = \infty

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě ( A \in \mathbb{R}, a = \pm \infty )

 \lim_{x \to - \infty } 2^x = 0

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě ( A = \pm \infty, a = \pm \infty )

 \lim_{x \to \infty } 2^x = \infty

Limita funkce více proměnných[editovat | editovat zdroj]

O funkci f(x_i) n-proměnných x_i říkáme, že má v bodě A=[a_1,a_2,...,a_n] limitu K, pokud ke každému (libovolně malému) číslu \varepsilon>0 existuje takové číslo \delta>0, jež je v obecném případě závislé na volbě \varepsilon, že pro všechny body X=[x_1,x_2,...,x_n] z \delta-okolí bodu A s výjimkou samotného bodu A platí |f(X)-K|<\varepsilon. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů.

  • \lim_{X \to A} f(X)=K
  • \lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to A} f(X)=K
  • \lim_{[x_1,x_2,...,x_n] \to [a_1,a_2,...,a_n]} f(X)=K
  • \lim_{\begin{matrix} x_1 \to a_1 \\ x_2 \to a_2 \\ \vdots \\ x_n \to a_n \end{matrix} } f(X)=K

Limita funkce n proměnných je tedy definována obdobným způsobem jako limita funkce jedné proměnné.

U funkce n proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, tzn. \lim_{X \to A}, ale také vzhledem několika nebo jen jedné z proměnných, tzn. např. \lim_{x_3 \to a_3}. Tedy např.

\lim_{x_1 \to a_1} f(x_1,x_2,...,x_n) = g(x_2,x_3,...,x_n),

kde g je funkcí n-1 proměnných.

Limita komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

O komplexní funkci f(z) definované v okolí bodu z_0 říkáme, že má v z_0 limitu A, jestliže k libovolnému \varepsilon > 0 existuje \delta-okolí bodu z_0 takové, že

| f(z) - A | < \varepsilon

Limitu v bodě z_0 zapisujeme

\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = A.

Formálně je tedy zápis stejný jako v případě reálných funkcí.

Limita A může být komplexním číslem.

Limita zprava a zleva[editovat | editovat zdroj]

Limity x → x0+ ≠ x → x0-. Proto limita pro x → x0 neexistuje.

O funkci f(x) říkáme, že má v bodě a limitu A zprava, resp. zleva, pokud k libovolnému číslu \varepsilon>0 existuje takové číslo \delta>0, jehož hodnota může v obecném případě záviset na volbě \varepsilon, že pro všechna x z pravého resp. levého okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a, tedy pro všechna x splňující podmínku x \in (a , a + \delta) , resp.  x \in (a - \delta , a) , platí |f(x)-A|<\varepsilon, což zapisujeme

\lim_{x \to a+} f(x)=A \; - označována jako limita zprava
\lim_{x \to a-} f(x)=A \; - označována jako limita zleva

Funkce f(x) má v bodě a limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají.

Funkce y = 1/x nemá v bodě 0 limitu.

Funkce f(x) = \frac{1}{x} nemá v bodě 0 limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity

\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty
\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty

Vlastní a nevlastní limita[editovat | editovat zdroj]

Limitu \lim_{x \to a} f(x) = A nazýváme vlastní nebo konečnou limitou funkce f(x) v bodě a, je-li A konečné číslo.

Limitu funkce f(x) v daném bodě a označíme jako nevlastní +\infty, resp. -\infty, pokud k libovolně velkému číslu K>0 existuje takové \delta>0, že pro všechna x z \delta-okolí bodu a s výjimkou bodu a samotného platí f(x)>K, resp. f(x)<-K, tedy

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty
\lim_{x \to a} f(x) = -\infty

Nevlastní limitu lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu a.

Limita v nevlastních bodech[editovat | editovat zdroj]

Limitu funkce lze počítat ve vlastních i nevlastních bodech, přičemž vlastním bodem je myšleno libovolné reálné číslo, nevlastním pak \infty či -\infty.

Říkáme, že funkce f(x)vlastní limitu A v nevlastním bodě \infty resp. -\infty právě tehdy když:

\forall \varepsilon > 0: \exists x_0 \in \mathbb{R}: \forall x>x_0: \left|A - f(x)\right|<\varepsilon resp. \forall \varepsilon > 0: \exists x_0 \in \mathbb{R}: \forall x<x_0: \left|A - f(x)\right|<\varepsilon.

Také v nevlastním bodě může být limita nevlastní, tzn. \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Mějme libovolné číslo c, funkci f(x), která má v bodě a limitu A a funkci g(x), která má ve stejném bodě limitu B, pak platí následující vztahy
    • \lim_{x \to a} c f(x) = cA
    • \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B
    • \lim_{x \to a} f(x)g(x) = AB
    • \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}, pokud B\neq 0
  • Mějme funkci f(x), která má v bodě a limitu A, tzn. \lim_{x \to a} f(x)=A, a funkci g(z), která má v bodě A limitu B, tedy \lim_{z \to A} g(z)=B. Pokud existuje takové \delta>0, že pro všechna x splňující podmínku 0<|x-a|<\delta platí f(x) \ne A, pak
\lim_{x \to a} g(f(x)) = B
  • Máme-li dvě funkce f(x), g(x), pro něž v okolí nějakého bodu a platí f(x) \leq g(x), pak v případě, že obě funkce mají v bodě a limitu, bude platit
\lim_{x \to a} f(x) \leq \lim_{x \to a} g(x)
  • Pokud v okolí bodu a platí f(x) \leq g(x) \leq h(x) a existují limity \lim_{x \to a} f(x)=A a \lim_{x \to a} h(x)=A, pak existuje také limita \lim_{x \to a} g(x), a její hodnota je A (tzv. věta o třech limitách, známá spíše jako věta o dvou policajtech).

Příklad funkce bez limity[editovat | editovat zdroj]

Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ pro } x< 1 \\ 0 & \mbox { pro } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ pro } x>1\end{cases}

nemá limitu v bodě x_0 = 1.

Historie pojmu[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]