Komplexní analýza

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Graf funkce f(x) = (x2 − 1)(x − 2 − i)2 / (x2 + 2 + 2i). Barva reprezentuje argument funkce, a jas reprezentuje magnitudu (velikost).

Komplexní analýza, tradičně známá jako teorie funkcí komplexní proměnné, je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je "jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky".

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože separátní reálná a imaginární části každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široko aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se ní známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

Komplexní funkce je funkce (matematika), kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na reálnou a imaginární části:

z = x + iy\, a
w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\,
kde x,y \in \mathbb{R}\, a u(x,y), v(x,y)\, jsou funkce s reálnými hodnotami.

Jinými slovy, složky funkce f(z),

u = u(x,y)\, a
v = v(x,y),\,

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných, x a y.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Holomorfní funkce[editovat | editovat zdroj]

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky jako obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.