Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocinné řady. Pro funkci $f(x)$ to znamená na okolí bodu $x_0$

$f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i (x - x_0)^i$,

kde $x_0$ je libovolný bod $\mathbf{D}$. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna $x$ z okolí bodu $x_0$. Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

$\ln_0 z = \ln r + \mathrm{i} \varphi$

pro $r > 0$ a $- \pi < \varphi \leq \pi$, kde $z = r (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi)$. Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu $z = 0$ a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok $-2\pi$).

Vlastnosti

• Součet analytických funkcí je analytická funkce.
• Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Související články

• Holomorfní funkce
• Funkce
• Komplexní analýza

Reference

• Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser