Analytická funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci f(x) to znamená na okolí bodu x_0

f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i (x - x_0)^i,

kde x_0 je libovolný bod \mathbf{D}. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna x z okolí bodu x_0. Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

\ln_0 z = \ln r + \mathrm{i} \varphi

pro r > 0 a - \pi < \varphi \leq \pi, kde z = r (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi). Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu z = 0 a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok -2\pi).


Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Součet analytických funkcí je analytická funkce.
  • Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser