Dělení nulou

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako \frac{a}{0}, kde a je dělenec. V oboru reálných čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné reálné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako \infty.[1]

Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.

Interpretace v elementární aritmetice[editovat | editovat zdroj]

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

Rané pokusy[editovat | editovat zdroj]

Brahmasphutasiddhanta od Brahmagupty (598–668) je první známý spis, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:

Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:

Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.

Bhaskara II. se pokusil problém vyřešit definováním \textstyle\frac{n}{0}=\infty. Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.

Algebraická interpretace[editovat | editovat zdroj]

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno. Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, tzn. že hodnota a/b je kořenem x rovnice bx=a, kdykoliv je taková hodnota právě jedna. Jinak není hodnota definovaná.

Pro b = 0 může být rovnice bx = a napsána jako 0x = a nebo prostě 0 = a. Proto v tomto případě rovnice bx = a nemá žádné řešení, pokud se a nerovná 0, a má nekonečně mnoho řešení, pokud se a rovná 0. Ani v jednom případě tedy rovnice nemá právě jedno řešení, a a/b není proto definované.

Mylné závěry při dělení nulou[editovat | editovat zdroj]

Je možné mít speciální případ dělení nulou v proměnné, které vede k falešnému důkazu, že 2 = 1, jako např.:

  1. Pro každé reálné číslo x platí:
    x^2-x^2=x^2-x^2
  2. Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby
    (x-x)(x+x)=x(x-x)
  3. Vydělíme obě strany výrazem (x - x), což je ve skutečnosti dělení nulou, protože x - x = 0.
    (1)(x+x) = x(1)
  4. Což je:
    2x=x
  5. Protože x může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme x=1.
    2=1

Chybou je v tomto případě předpoklad, že (x-x)/(x-x), což je 0/0, se rovná 1. Jakákoliv jiná hodnota přiřazená k 0/0 vede k podobným nesmyslům.

Limity a dělení nulou[editovat | editovat zdroj]

Na první pohled vypadá možné definovat \frac{a}{0} jako limitu \frac{a}{b} pro b jdoucí k 0.

Pro každé kladné a platí:

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {+}\infty

Pro každé záporné a platí:

\lim_{b \to 0^{+}} {a \over b} = {-}\infty

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Za prvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Za druhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat \frac{a}{0} jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

+\infty = \frac{1}{0} = \frac{1}{-0} = -\frac{1}{0} = -\infty,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice \frac{0}{0}, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

 \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b}

neexistuje. Limita

 \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)} ,

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)

Dělení nulou v počítačích[editovat | editovat zdroj]

Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné, záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. Znaménka nekonečen se mění při dělení –0. To je možné díky tomu, že v IEEE 754 jsou dvě nuly, kladná a záporná.

S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu).

Kvůli nesprávným algebraickým výsledkům při přiřazování jakéhokoliv výsledku dělení nulou mnoho programovacích jazyků (včetně těch používaných v kalkulačkách) výslovně zakazuje provedení takové operace a mohou předčasně ukončit program, který se o dělení nulou pokouší, někdy s chybou „dělení nulou“. Některé programy (zejména ty, které používají aritmetikou v pevné řádové čárce a nemají žádný speciální hardware na operace v plovoucí řádové čárce) se chovají podobně jako standard IEEE, když používají velká kladná nebo záporná čísla pro aproximaci nekonečna. V některých programovacích jazycích vyústí pokus o dělení nulou v nedefinované chování.

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. M. Hušek, P. Pyrih et al. Matematická analýza 4, kapitola Komplexní funkce, s. 2. Univerzita Karlova v Praze

Související články[editovat | editovat zdroj]