Spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x₀ definovat následujícími dvěma podmínkami:

Funkce je v bodě x₀ definována (x₀ patří do definičního oboru).
V bodě x₀ existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:

$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$ .

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Obsah

1 Cauchyho definice
2 Heineho definice
3 Spojitost komplexní funkce
4 Bod nespojitosti
5 Stejnoměrná spojitost
- 5.1 Weierstrassova věta
- 5.2 Absolutně spojitá funkce
6 Příklady
7 Vlastnosti
8 Související články

[editovat] Cauchyho definice

O funkci $f (x)$ řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon > 0$ existuje takové číslo $δ > 0$ , že pro všechna x, pro něž platí $| x - a | < δ$ , platí také

$|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ .

Velikost čísla $δ$ může záviset nejen na volbě čísla $\varepsilon$ , ale i na volbě bodu a.

Funkci $f (x)$ označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému $\varepsilon > 0$ existuje takové $δ > 0$ , že pro všechna $x > a$ (resp. $x \leq a$ ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci $f (x i)$ , kde $x 1, x 2,..., x n$ jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě $A = [a 1, a 2,..., a n]$ , pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon>0$ existuje takové číslo $δ > 0$ , že pro všechny body $X = [x 1, x 2,..., x n]$ z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku $d (A, X) < δ$ , platí

$|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon$ .

[editovat] Heineho definice

Nechť $x 0$ je hromadným bodem $D (f)$ . Funkce $f$ je spojitá v bodě $x 0$ právě tehdy když $\forall \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f), x_n \rightarrow x_0$ platí $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$ .

[editovat] Spojitost komplexní funkce

O komplexní funkci $f (z)$ říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě $z 0$ komplexní roviny platí

$\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$ .

Je-li funkce $f (z)$ spojitá v každém bodě určité oblasti $\mathbf{G}$ , pak říkáme, že je spojitá v $\mathbf{G}$ .

[editovat] Bod nespojitosti

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod $a$ , ve kterém má funkce $f (x)$ limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. $\lim_{x \to a+} f(x) \ne \lim_{x \to a-} f(x)$ . Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. $\lim_{x \to a+} f(x) - \lim_{x \to a-} f(x)$ , nazýváme skokem funkce v bodě $a$ .

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod $a$ , v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě $a$ existuje konečná limita $\lim_{x \to a} f(x)=A$ , avšak funkce $f (x)$ není v bodě a definována, nebo je $f(a) \ne A$ , pak bod $a$ označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce $f (x)$ .

Funkci, která je definována na intervalu $\langle a,b\rangle$ , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod $b$ . Bod $e$ je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod $c$ je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu $\langle a,d\rangle$ .

[editovat] Stejnoměrná spojitost

Mějme funkci $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ , pro niž k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje $δ > 0$ takové, že pro libovolné dva body $x 1, x 2$ z intervalu $\langle a,b\rangle$ splňující $| x 1 - x 2 | < δ$ platí $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ , pak říkáme, že funkce $f (x)$ je stejnoměrně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ .

[editovat] Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu $\langle a,b\rangle$ lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v $\langle a,b\rangle$ posloupností polynomů, tzn. k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje polynom $P (x)$ takový, že $|f(x)-P(x)|<\varepsilon$ pro všechna $x \in \langle a,b\rangle$ .

[editovat] Absolutně spojitá funkce

Funkci $f (x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $\langle a,b\rangle$ , jestliže k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje takové $δ > 0$ , že pro každý systém intervalů $\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle,$ pro který je $a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b$ , a $\sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta$ platí $\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon$ .

Je-li funkce $f (x)$ absolutně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

[editovat] Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:

I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.
Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

[editovat] Vlastnosti

Má-li funkce $f (x)$ v bodě $a$ konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
Pokud je funkce $f (x)$ spojitá v bodě $a$ a funkce $g (y)$ spojitá v bodě $b = f (a)$ , pak složená funkce $g (f (x))$ je spojitá v bodě $a$ .
Je-li funkce $f (x)$ spojitá na $\langle a,b\rangle$ , pak na $\langle a,b\rangle$ existuje alespoň jeden bod $x_1 \in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_1) \ge f(x)$ pro všechna $x \in \langle a,b\rangle.$ Jedná se o maximum funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle.$ Současně také existuje alespoň jeden bod $x_2 \in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_2) \leq f(x)$ pro všechna $x \in\langle a,b\rangle$ . Jedná se o minimum funkce $f (x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$ . Funkce spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.