Spojitá funkce
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.
Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.
Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:
- Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
- V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
.
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.
Obsah |
[editovat] Cauchyho definice
O funkci f(x) řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu
existuje takové číslo δ > 0, že pro všechna x, pro něž platí | x − a | < δ, platí také
.
Velikost čísla δ může záviset nejen na volbě čísla
, ale i na volbě bodu a.
Funkci f(x) označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému
existuje takové δ > 0, že pro všechna x > a (resp.
), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je
. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci f(xi), kde x1,x2,...,xn jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě A = [a1,a2,...,an], pokud ke každému (libovolně malému) číslu
existuje takové číslo δ > 0, že pro všechny body X = [x1,x2,...,xn] z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku d(A,X) < δ, platí
.
[editovat] Heineho definice
Nechť x0 je hromadným bodem D(f). Funkce f je spojitá v bodě x0 právě tehdy když
platí
.
[editovat] Spojitost komplexní funkce
O komplexní funkci f(z) říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě z0 komplexní roviny platí
.
Je-li funkce f(z) spojitá v každém bodě určité oblasti
, pak říkáme, že je spojitá v
.
[editovat] Bod nespojitosti
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.
Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod a, ve kterém má funkce f(x) limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn.
. Rozdíl mezi těmito čísly, tzn.
, nazýváme skokem funkce v bodě a.
Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod a, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.
Pokud v bodě a existuje konečná limita
, avšak funkce f(x) není v bodě a definována, nebo je
, pak bod a označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce f(x).
Funkci, která je definována na intervalu
, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod b. Bod e je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod c je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu
.
[editovat] Stejnoměrná spojitost
Mějme funkci f(x) na intervalu
, pro niž k libovolnému
existuje δ > 0 takové, že pro libovolné dva body x1,x2 z intervalu
splňující | x1 − x2 | < δ platí
, pak říkáme, že funkce f(x) je stejnoměrně spojitá na intervalu
.
[editovat] Weierstrassova věta
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu
lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v
posloupností polynomů, tzn. k libovolnému
existuje polynom P(x) takový, že
pro všechna
.
[editovat] Absolutně spojitá funkce
Funkci f(x) označíme jako absolutně spojitou na intervalu
, jestliže k libovolnému
existuje takové δ > 0, že pro každý systém intervalů
pro který je
, a
platí
.
Je-li funkce f(x) absolutně spojitá na intervalu
, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.
[editovat] Příklady
- Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
- Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
- Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:
- I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.
- Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
- Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.
[editovat] Vlastnosti
- Má-li funkce f(x) v bodě a konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
- Pokud je funkce f(x) spojitá v bodě a a funkce g(y) spojitá v bodě b = f(a), pak složená funkce g(f(x)) je spojitá v bodě a.
- Je-li funkce f(x) spojitá na
, pak na
existuje alespoň jeden bod
takový, že
pro všechna
Jedná se o maximum funkce f(x) na intervalu
Současně také existuje alespoň jeden bod
takový, že
pro všechna
. Jedná se o minimum funkce f(x) na intervalu
. Funkce spojitá na intervalu
je tedy na tomto intervalu také ohraničená.
[editovat] Související články
- Funkce
- Komplexní funkce
- Okolí
- Polospojitost
- Stejnoměrně spojitá funkce
- Absolutně spojitá funkce
- Lipschitzovská funkce