Spojitá funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.
Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:

  • Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
  • V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
    \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Cauchyho definice[editovat | editovat zdroj]

O funkci f(x) řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu \varepsilon > 0 existuje takové číslo \delta > 0, že pro všechna x, pro něž platí |x-a|<\delta, platí také

|f(x) - f(a)| < \varepsilon.

Velikost čísla \delta může záviset nejen na volbě čísla \varepsilon, ale i na volbě bodu a.

Funkci f(x) označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému \varepsilon > 0 existuje takové \delta > 0, že pro všechna x \in \langle a, a+\delta) (resp. x \in (a-\delta, a \rangle), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a, je |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci f(x_i), kde x_1, x_2, ..., x_n jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě A=[a_1,a_2,...,a_n], pokud ke každému (libovolně malému) číslu \varepsilon>0 existuje takové číslo \delta>0, že pro všechny body X=[x_1,x_2,...,x_n] z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku d(A,X)<\delta, platí

|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon.

Heineho definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť x_0 je hromadným bodem D(f). Funkce f je spojitá v bodě x_0 právě tehdy když \forall \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f), x_n \rightarrow x_0 platí f(x_n) \rightarrow f(x_0).

Spojitost komplexní funkce[editovat | editovat zdroj]

O komplexní funkci f(z) říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě z_0 komplexní roviny platí

\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0).

Je-li funkce f(z) spojitá v každém bodě určité oblasti \mathbf{G}, pak říkáme, že je spojitá v \mathbf{G}.

Bod nespojitosti[editovat | editovat zdroj]

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti, singularity.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod a, ve kterém má funkce f(x) limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. \lim_{x \to a+} f(x) \ne \lim_{x \to a-} f(x). Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. \lim_{x \to a+} f(x) - \lim_{x \to a-} f(x), nazýváme skokem funkce v bodě a.

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod a, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě a existuje konečná limita \lim_{x \to a} f(x)=A, avšak funkce f(x) není v bodě a definována, nebo je f(a) \ne A, pak bod a označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce f(x).

Funkci, která je definována na intervalu \langle a,b\rangle, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod b. Bod e je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod c je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu \langle a,d\rangle.

Stejnoměrná spojitost[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci f(x) na intervalu \langle a,b\rangle, pro niž k libovolnému \varepsilon>0 existuje \delta>0 takové, že pro libovolné dva body x_1, x_2 z intervalu \langle a,b\rangle splňující |x_1-x_2|<\delta platí |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon, pak říkáme, že funkce f(x) je stejnoměrně spojitá na intervalu \langle a,b\rangle.

Weierstrassova věta[editovat | editovat zdroj]

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu \langle a,b\rangle lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v \langle a,b\rangle posloupností polynomů, tzn. k libovolnému \varepsilon>0 existuje polynom P(x) takový, že |f(x)-P(x)|<\varepsilon pro všechna x \in \langle a,b\rangle.

Absolutně spojitá funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkci f(x) označíme jako absolutně spojitou na intervalu \langle a,b\rangle, jestliže k libovolnému \varepsilon>0 existuje takové \delta>0, že pro každý systém intervalů \langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle, pro který je a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b, a \sum_{i=1}^n \left(b_i-a_i\right) < \delta platí \sum_{i=1}^n \left|f\left(b_i\right)-f\left(a_i\right)\right|<\varepsilon.

Je-li funkce f(x) absolutně spojitá na intervalu \langle a,b\rangle, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Má-li funkce f(x) v bodě a konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
  • Pokud je funkce f(x) spojitá v bodě a a funkce g(y) spojitá v bodě b = f(a), pak složená funkce g(f(x)) je spojitá v bodě a.
  • Je-li funkce f(x) spojitá na uzavřeném intervalu \langle a,b\rangle, pak na \langle a,b\rangle existuje alespoň jeden bod x_1 \in \langle a,b\rangle takový, že f(x_1) \ge f(x) pro všechna x \in \langle a,b\rangle. Jedná se o maximum funkce f(x) na intervalu \langle a,b\rangle. Současně také existuje alespoň jeden bod x_2 \in \langle a,b\rangle takový, že f(x_2) \leq f(x) pro všechna x \in\langle a,b\rangle. Jedná se o minimum funkce f(x) na intervalu \langle a,b\rangle. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu \langle a,b\rangle je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články[editovat | editovat zdroj]