Spojitá funkce

Tento článek pojednává o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.

Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x₀ definovat následujícími dvěma podmínkami:

• Funkce je v bodě x₀ definována (x₀ patří do definičního oboru).
• V bodě x₀ existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:

  $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Cauchyho definice

O funkci $f(x)$ řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon > 0$ existuje takové číslo $\delta > 0$, že pro všechna x, pro něž platí $|x-a|<\delta$, platí také

$|f(x) - f(a)| < \varepsilon$.

Velikost čísla $\delta$ může záviset nejen na volbě čísla $\varepsilon$, ale i na volbě bodu a.

Funkci $f(x)$ označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému $\varepsilon > 0$ existuje takové $\delta > 0$, že pro všechna $x \in \langle a, a+\delta)$ (resp. $x \in (a-\delta, a \rangle$), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu $a$, je $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci $f(x_i)$, kde $x_1, x_2, ..., x_n$ jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě $A=[a_1,a_2,...,a_n]$, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon>0$ existuje takové číslo $\delta>0$, že pro všechny body $X=[x_1,x_2,...,x_n]$ z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku $d(A,X)<\delta$, platí

$|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon$.

Heineho definice

Nechť $x_0$ je hromadným bodem $D(f)$. Funkce $f$ je spojitá v bodě $x_0$ právě tehdy když $\forall \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f), x_n \rightarrow x_0$ platí $f(x_n) \rightarrow f(x_0)$.

Spojitost komplexní funkce

O komplexní funkci $f(z)$ říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě $z_0$ komplexní roviny platí

$\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)$.

Je-li funkce $f(z)$ spojitá v každém bodě určité oblasti $\mathbf{G}$, pak říkáme, že je spojitá v $\mathbf{G}$.

Bod nespojitosti

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod $a$, ve kterém má funkce $f(x)$ limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. $\lim_{x \to a+} f(x) \ne \lim_{x \to a-} f(x)$. Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. $\lim_{x \to a+} f(x) - \lim_{x \to a-} f(x)$, nazýváme skokem funkce v bodě $a$.

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod $a$, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě $a$ existuje konečná limita $\lim_{x \to a} f(x)=A$, avšak funkce $f(x)$ není v bodě a definována, nebo je $f(a) \ne A$, pak bod $a$ označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce $f(x)$.

Funkci, která je definována na intervalu $\langle a,b\rangle$, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod $b$. Bod $e$ je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod $c$ je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu $\langle a,d\rangle$.

Stejnoměrná spojitost

Mějme funkci $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$, pro niž k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje $\delta>0$ takové, že pro libovolné dva body $x_1, x_2$ z intervalu $\langle a,b\rangle$ splňující $|x_1-x_2|<\delta$ platí $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$, pak říkáme, že funkce $f(x)$ je stejnoměrně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$.

Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu $\langle a,b\rangle$ lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v $\langle a,b\rangle$ posloupností polynomů, tzn. k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje polynom $P(x)$ takový, že $|f(x)-P(x)|<\varepsilon$ pro všechna $x \in \langle a,b\rangle$.

Absolutně spojitá funkce

Funkci $f(x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $\langle a,b\rangle$, jestliže k libovolnému $\varepsilon>0$ existuje takové $\delta>0$, že pro každý systém intervalů $\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle,$ pro který je $a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b$, a $\sum_{i=1}^n \left(b_i-a_i\right) < \delta$ platí $\sum_{i=1}^n \left|f\left(b_i\right)-f\left(a_i\right)\right|<\varepsilon$.

Je-li funkce $f(x)$ absolutně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

• Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
• Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
• Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:

  I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.

• Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
• Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

Vlastnosti

• Má-li funkce $f(x)$ v bodě $a$ konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
• Pokud je funkce $f(x)$ spojitá v bodě $a$ a funkce $g(y)$ spojitá v bodě $b = f(a)$, pak složená funkce $g(f(x))$ je spojitá v bodě $a$.
• Je-li funkce $f(x)$ spojitá na $\langle a,b\rangle$, pak na $\langle a,b\rangle$ existuje alespoň jeden bod $x_1 \in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_1) \ge f(x)$ pro všechna $x \in \langle a,b\rangle.$ Jedná se o maximum funkce $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle.$ Současně také existuje alespoň jeden bod $x_2 \in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_2) \leq f(x)$ pro všechna $x \in\langle a,b\rangle$. Jedná se o minimum funkce $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$. Funkce spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články

• Funkce
• Komplexní funkce
• Okolí
• Polospojitost
• Stejnoměrně spojitá funkce
• Absolutně spojitá funkce
• Lipschitzovská funkce