Charakteristická funkce

Jako charakteristická funkce se v matematice označuje taková funkce, která pro nějakou podmnožinu A dané množiny X indikuje, které prvky X patří do A.

Definice

$\chi_A : X \rightarrow \{0, 1\}$ je charakteristická funkce množiny A v množině X, pokud platí

$\chi_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{pokud}\ x \in A, \\ 0 &\mbox{pokud}\ x \notin A. \end{matrix}\right.$

Značení

Značení charakteristické funkce není jednotné, mimo $\chi_A(x)$ se používá také $1_A(x)$, $c_A(a)$ či dokonce jen A(x) (zejména v teorii vyčíslitelnosti).

Vlastnosti

Jsou-li A a B dvě podmnožiny množiny X, pak platí

$\chi_{A\cap B} = \min\{\chi_A,\chi_B\} = \chi_A \cdot \chi_B,\,$

$\chi_{A\cup B} = \max\{{\chi_A,\chi_B}\} = \chi_A + \chi_B - \chi_A \cdot \chi_B,$

Speciální tvary

• pokud je charakteristická funkce množiny A obecně rekurzivní, je množina A rekurzivní

Související články

• Dirichletova funkce