Norma (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

  • pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro aF a vV;
  • subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, vV.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna vV.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

  • p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Eukleidovská norma[editovat | editovat zdroj]

Na prostoru \mathbb{R}^n lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako

\|\mathbf{x}\| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma[editovat | editovat zdroj]

Nechť p > 1 je reálné číslo.

\|\emph{\textbf{x}}\|_p := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^\frac{1}{p}.

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma[editovat | editovat zdroj]

\|\emph{\textbf{x}}\|_\infty := \max \left(|x_1|, \ldots ,|x_n| \right).

Norma na prostoru se skalárním součinem[editovat | editovat zdroj]

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

\|x\| := \sqrt{(x,x)}.

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

 |(x,y)| \leq \|x\| \, \|y\|.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

C\|x\|_\alpha\leq\|x\|_\beta\leq D\|x\|_\alpha

pro všechna xV. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•|| jsou ekvivalentní na prostoru \mathbb{R}^n:

\|x\|_2\le\|x\|_1\le\sqrt{n}\|x\|_2,
\|x\|_\infty\le\|x\|_2\le\sqrt{n}\|x\|_\infty,
\|x\|_\infty\le\|x\|_1\le n\|x\|_\infty.

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny[editovat | editovat zdroj]

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

\mu_C(x) := \inf\{\alpha : \alpha > 0, x \in \alpha C\}.

Pro tuto seminormu platí

\{x : \mu_C(x) < 1\} \subseteq C \subseteq \{x : \mu_C(x) \leq 1\}.

Související články[editovat | editovat zdroj]