Uzavřená množina

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o pojmu z mat. analýzy a topologie. O pojmu z algebry pojednává článek Uzavřená množina vůči operaci.

Uzavřená množina je abstrakce a zobecnění intuitivní představy uzavřeného intervalu na množině reálných čísel \mathbb{R}, kde uzavřený je takový interval, který obsahuje své krajní body. Základním zobecněním je považovat za uzavřené množiny i konečná sjednocení intervalů (obecně množin, o nichž už víme, že jsou uzavřené).

O uzavřenosti množiny můžeme mluvit pouze ve vztahu k její konkrétní nadmnožině: Například polouzavřený interval (5,10\rangle není uzavřený jako podmnožina množiny \mathbb{R} reálných čísel, ale je uzavřený jako podmnožina intervalu (5, 15)\,\!.

Dalším zobecněním je považovat za uzavřenou každou množinu, která obsahuje svou hranici, což lze interpretovat tak, že podmnožina A\,\! množiny B\,\! je uzavřená, jestliže pro každý bod x \in B\smallsetminus A\,\! existuje nějaké okolí U\,\!, které neprotíná množinu A\,\!.

Protože účinným prostředkem, jak „uniknout“ z množiny, je použití limity nekonečné posloupnosti prvků množiny, definice uzavřené množiny často požadují, aby uzavřená množina obsahovala limity každé konvergentní posloupnosti prvků z množiny.

Topologický prostor poskytuje ještě obecnější definici uzavřené množiny – uzavřená je taková množina, která je doplňkem otevřené množiny.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Následující tři definice jsou ekvivalentní, každá z nich zobecňuje tu předchozí. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem; na metrických prostorech je množina uzavřená v metrickém smyslu, právě když je uzavřená v topologickém smyslu. Na metrickém prostoru reálných čísel pak splývají všechny tři definice. Uzavřenost je tedy zřetelným příkladem procesu, kdy je studována nějaká vlastnost konkrétních objektů a pak zobecňována na širší a abstraktnější matematické struktury.

Definice na reálných číslech[editovat | editovat zdroj]

Říkáme, že množina A\subseteq \R \! je uzavřená, pokud pro každé x \in \R \smallsetminus A \,\! existuje kladné číslo \varepsilon > 0\,\! takové, že pro každé y \in \R\,\! platí:

 \left | y - x \right | < \varepsilon \, \implies y \notin A \,\!

Tak například množina  \langle 1,2 \rangle \cup \langle 3,4 \rangle \cup \langle 5,6 \rangle  \,\! je uzavřená. Pokud by někdo zvolil za x např. číslo 2,01 (záměrně číslo velmi blízké této množině), pak můžeme za  \varepsilon\,\! zvolit např. jednu tisícinu nebo jednu miliardtinu.

Naproti tomu množina ( 5,10 \rangle\,\! v \mathbb{R} uzavřená není, protože interval je polouzavřený. Za x můžeme zvolit x = 5 (které patří do \mathbb{R} ale ne do ( 5,10 \rangle\,\!), žádné kladné  \varepsilon \,\! nesplní výše uvedený vzorec. Zvolí-li někdo např.  \varepsilon = 0,001 \,\! , pak existuje y = 5,0001 \,\! , pro které vzorec neplatí.

V této nejjednodušší definici zkoumáme množiny jako podmnožiny množiny všech reálných čísel. Pokud bychom zkoumali uzavřenost intervalu (5,10\rangle jako podmnožiny (5, 15)\,\!, nemůžeme použít x = 5. Při volbě x = 5,0001 \,\! , stačí vzít \varepsilon = 0,00001 \,\! a y = 5,00009 \,\! do množiny patří.

Definice v metrických prostorech[editovat | editovat zdroj]

Definice v metrických prostorech je velmi podobná, ovšem je možno ji vztáhnout na širokou množinu matematických objektů. Například mezi body v rovině lze zavést metriku jako jejich klasickou (euklidovskou) vzdálenost, takže obvod čtverce bude uzavřená množina, celý čtverec také, ale vnitřek čtverce ne.

Na množině všech spojitých funkcí na intervalu  \langle 0,1 \rangle \,\! lze zavést metriku tak, že „vzdálenost“ dvou funkcí bude maximální hodnota jejich rozdílu. Potom množina Y všech funkcí takových, že f(0,5) = 10, bude uzavřená. Množina Z všech funkcí, které jsou všude záporné, ale uzavřená nebude, neboť pro každé kladné  \varepsilon \,\! lze uvažovat konstantní funkci f(x) =  - \varepsilon \over 2 \,\! , která leží v množině Z, ačkoli je „vzdálena o méně než \varepsilon \,\! “ od nulové funkce, která v Z neleží.

Definice zní takto: Buď (M, \rho)\,\! metrický prostor a  A\subseteq M \,\!. Potom A\,\! je uzavřená, pokud pro každé x \in M\smallsetminus A\,\! existuje \varepsilon\in\R^+ \,\! takové, že pro každé y\in M \,\! platí:

\rho(x,y)<\varepsilon \, \implies \, y\notin A \,\!

Topologická definice[editovat | editovat zdroj]

Uzavřená množina je taková množina topologického prostoru, jejíž doplněk je otevřená množina. Uzavřená množina obsahuje i svou hranici.

Uzavřená množina není opak otevřené množiny. Existují totiž množiny, které jsou uzavřené i otevřené (tzv. obojetní množiny).

Nejmenší uzavřená množina, která obsahuje nějakou otevřenou množinu A jako svou podmnožinu se nazývá uzávěr množiny A.

Definice pomocí konvergence[editovat | editovat zdroj]

Ve všech uvedených případech (reálná osa, metrický prostor a topologický prostor) lze definovat pojem konvergentní posloupnost. Potom každá výše uvedená definice je ekvivalentní s definicí, že množina je uzavřená, pokud z ní „nelze vykonvergovat“. Přesněji:

Množina  A \subseteq M \,\! je uzavřená, pokud pro každou posloupnost  \{x\}_n \,\! , jejíž prvky leží v  A \,\! , platí: Konverguje-li  \{x\}_n \,\! k prvku  x \in M \,\! , pak  x \in A \,\! .

Příklad: Množina  (1,2 \rangle \,\! není uzavřená, neboť z ní lze „vykonvergovat“ posloupností  \{x\}_n = 1 + {1\over n} \,\! , tedy posloupností

 2,\, 1{1\over 2},\, 1{1\over 3}, \,1{1\over 4}, \, 1{1\over 5} \dots \,\!

Její limitou (číslem, k němuž konverguje) je číslo 1, které v A neleží.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina.

Průnik spočetně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou uzavřené množiny.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Uzavřený interval \langle a, b\rangle na množině reálných čísel je uzavřená množina.
  • Jednotkový interval \langle 0, 1\rangle je uzavřený v metrickém prostoru reálných čísel a množina \langle 0, 1\rangle \cap \mathbb{Q} racionálních čísel mezi 0 a 1 (včetně) je uzavřená v prostoru racionálních čísel, ale \langle 0, 1\rangle \cap \mathbb{Q} není uzavřená v reálných číslech.
  • Některé množiny nejsou ani otevřené ani uzavřené, například polouzavřený interval \langle 0, 1) v množině reálných čísel.
  • Některé množiny jsou jak otevřené tak uzavřené (anglicky se nazývají clopen množiny).
  • Interval \langle 0, +\infty) je uzavřená množina.
  • Cantorova množina je neobvyklá uzavřená množina v tom smyslu, že se skládá pouze z hraničních bodů a není nikde hustá.
  • Izolované body (a tedy i konečné množiny) v Hausdorffově prostoru jsou uzavřené množiny.
  • Množina všech prvočísel v množině všech reálných čísel je uzavřená množina, ale množina všech racionálních čísel v množině všech reálných čísel uzavřená není (doplnění množiny racionálních čísel, která je hustá v množině reálných čísel na úplnou množinu reálných čísel limitami všech konvergentních posloupností racionálnách čísel je jedním ze způsobů jak získat množinu reálných čísel).
  • Jestliže X a Y jsou topologické prostory, funkce f z X do Y je spojitá právě tehdy, když obraz každé uzavřené množiny v Y je uzavřená v X.

Absolutně uzavřená množina[editovat | editovat zdroj]

Množina A s nějakou metrikou se nazývá absolutně uzavřená, pokud je uzavřená jakožto podmnožina jakéhokoliv metrického prostoru. Tak množina (5,10\rangle s metrikou \rho(x,y) = \left | x-y \right | není absolutně uzavřená, protože je sice uzavřená jako podmnožina (5, 15)\,\!, ale nikoli jako podmnožina ( 1, 15) \,\!.

Související články[editovat | editovat zdroj]