Uzavřená množina

Tento článek pojednává o pojmu z mat. analýzy a topologie. O pojmu z algebry pojednává článek Uzavřená množina vůči operaci.

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Uzavřená množina je vlastnost, kterou mohou mít některé množiny reálných čísel, například množina všech prvočísel je uzavřená, ale množina všech racionálních čísel uzavřená není. Tento pojem je možno zobecnit na jakýkoli metrický prostor a tím zkoumat například množiny bodů v rovině nebo množiny funkcí. Ještě obecnější definicí je pak definice v topologickém prostoru.

Tyto tři definice jsou ekvivalentní, každá z nich zobecňuje tu předchozí. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem; na metrických prostorech je množina uzavřená v metrickém smyslu, právě když je uzavřená v topologickém smyslu. Na metrickém prostoru reálných čísel pak splývají všechny tři definice. Uzavřenost je tedy zřetelným příkladem procesu, kdy je studována nějaká vlastnost konkrétních objektů a pak zobecňována na širší a abstraktnější matematické struktury.

O uzavřenosti množiny můžeme mluvit pouze ve vztahu k její konkrétní nadmnožině: Například polouzavřený interval $(5,10\rangle$ je uzavřený jako podmnožina intervalu $(5, 15)\,\!$, ale nikoli jako podmnožina intervalu $\langle 5, 10\rangle$ ani $( 1, 15) \,\!$.

Všechny tři definice spočívají na myšlence, že množina $A\subseteq B\,\!$ je uzavřená, pokud ke každému bodu $x \in B-A\,\!$ (tedy bodu z B, který neleží v A) existuje kolem bodu $x$ nějaké okolí $U$, které neprotíná množinu $A$.

Definice

Následující definice uzavřené množiny jsou ekvivalentní - například každý metrický prostor je topologickým prostorem, proto na něm má smysl metrická i topologická definice, ovšem množina je uzavřená podle jedné z nich právě tehdy, je-li uzavřená podle té druhé.

Definice na reálných číslech

V této nejjednodušší definici zkoumáme množiny jako podmnožiny množiny všech reálných čísel. Proto interval $(5,10\rangle$ nepokládáme za uzavřenou množinu, ačkoli by uzavřený byl, kdybychom jej zkoumali jako podmnožinu $(5, 15)\,\!$.

Říkáme, že množina $A\subseteq \R \!$ je uzavřená, pokud pro každé $x \in \R - A \,\!$ existuje kladné číslo $\varepsilon \in \R^+\,\!$ takové, že pro každé $y \in \R\,\!$ platí:

$\left | y - x \right | < \varepsilon \, \implies y \notin A \,\!$

Tak například množina $\langle 1,2 \rangle \,\!$ je uzavřená. Pokud by někdo zvolil za $x$ např. číslo 2,01 (záměrně číslo velmi blízké této množině), pak můžeme za $\varepsilon\,\!$ zvolit např. jednu tisícinu nebo jednu miliardtinu.

Naproti tomu množina $\langle 1,2 \rangle \cup ( 3,4 \rangle \cup \langle 5,6 \rangle \,\!$ uzavřená není, protože prostřední interval je polouzavřený. Zvolíme-li x = 3, žádné kladné $\varepsilon \,\!$ nesplní výše uvedený vzorec. Zvolí-li někdo např. $\varepsilon = 0,001 \,\!$ , pak existuje $y = 3,000001 \,\!$ , pro které vzorec neplatí.

Definice v metrických prostech

Definice v metrických prostorech je velmi podobná, ovšem je možno ji vztáhnout na širokou množinu matematických objektů. Například mezi body v rovině lze zavést metriku jako jejich klasickou (euklidovskou) vzdálenost, takže obvod čtverce bude uzavřená množina, celý čtverec také, ale vnitřek čtverce ne.

Na množině všech spojitých funkcí na intervalu $\langle 0,1 \rangle \,\!$ lze zavést metriku tak, že "vzdálenost" dvou funkcí bude maximální hodnota jejich rozdílu. Potom množina $Y$ všech funkcí takových, že f(0,5) = 10, bude uzavřená. Množina $Z$ všech funkcí, které jsou všude záporné, ale uzavřená nebude, neboť pro každé kladné $\varepsilon \,\!$ lze uvažovat konstantní funkci f(x) = $- \varepsilon \over 2 \,\!$, která leží v množině $Z$, ačkoli je "vzdálena o méně než $\varepsilon \,\!$" od nulové funkce, která v $Z$ neleží.

Definice zní takto: Buď $(M, \rho)\,\!$ metrický prostor a $A\subseteq M \,\!$. Potom $A\,\!$ je uzavřená, pokud pro každé $x \in M-A\,\!$ existuje $\varepsilon\in\R^+ \,\!$ takové, že pro každé $y\in M \,\!$ platí:

$\rho(x,y)<\varepsilon \, \implies \, y\notin A \,\!$

Topologická definice

Uzavřená množina je taková množina topologického prostoru, jejíž doplňek je otevřená množina. Uzavřená množina obsahuje i svou hranici.

Uzavřená množina není opak otevřené množiny. Existují totiž množiny, které jsou uzavřené i otevřené (tzv. obojetní množiny).

Nejmenší uzavřená množina, která obsahuje nějakou otevřenou množinu A jako svou podmnožinu se nazývá uzávěr množiny A.

Definice pomocí konvergence

Faktická přesnost tohoto článku byla zpochybněna.

Podrobnější zdůvodnění najdete v diskusi. Neodstraňujte, prosíme, tuto zprávu, dokud nebudou pochybnosti vyřešeny.

---

Pro vkladatele šablony: Na diskusní stránce zdůvodněte vložení šablony.

Ve všech uvedených případech (reálná osa, metrický prostor a topologický prostor) lze definovat pojem konvergentní posloupnost. Potom každá výše uvedená definice je ekvivalentní s definicí, že množina je uzavřená, pokud z ní "nelze vykonvergovat". Přesněji:

Množina $A \subseteq M \,\!$ je uzavřená, pokud pro každou posloupnost $\{x\}_n \,\!$, jejíž prvky leží v $A \,\!$, platí: Konverguje-li $\{x\}_n \,\!$ k prvku $x \in M \,\!$ , pak $x \in A \,\!$.

Příklad: Množina $(1,2 \rangle \,\!$ není uzavřená, neboť z ní lze "vykonvergovat" posloupností $\{x\}_n = 1 + {1\over n} \,\!$, tedy posloupností

$2,\, 1{1\over 2},\, 1{1\over 3}, \,1{1\over 4}, \, 1{1\over 5} \dots \,\!$

Její limitou (číslem, k němuž konverguje) je číslo 1, které v $A$ neleží.

Vlastnosti

Sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina.

Průnik spočetně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.

Prázdná množina a celý topologický prostor X jsou uzavřené množiny.

Absolutně uzavřená množina

Množina A s nějakou metrikou se nazývá absolutně uzavřená, pokud je uzavřená jakožto podmnožina jakéhokoliv metrického prostoru. Tak množina $(5,10\rangle$ s metrikou $\rho(x,y) = \left | x-y \right |$ není absolutně uzavřená, protože je sice uzavřená jako podmnožina $(5, 15)\,\!$, ale nikoli jako podmnožina $( 1, 15) \,\!$.

Související články

• Uzavřené zobrazení
• Kompaktní množina