Prvočíslo

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo). Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla.

První prvočísla jsou:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Beze zbytku je dělitelné pouze 1 a 13. Proto je 13 prvočíslo.

Číslo 24 je dělitelné beze zbytku čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – proto není prvočíslem, ale složeným číslem.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Pokud je p prvočíslo a p dělí součin čísel a a b, pak p dělí a nebo p dělí b.
  • Každé složené číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součin prvočísel. Proces rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele (prvočinitele) se nazývá faktorizace. Např. 24 = 2^3\cdot 3.
  • Okruh Z/nZ (viz množina zbytkových tříd) je těleso, právě když n je prvočíslo. Jinak vyjádřeno: n je prvočíslo, právě když φ(n) = n − 1, kde φ(n) je počet invertovatelných prvků v Z/nZ.
  • Pokud p je prvočíslo a 0<a<p je celé číslo, pak a^{p}-a je dělitelné p. (Malá Fermatova věta)
  • Pokud n je kladné celé číslo větší než jedna, existuje prvočíslo p tak, že n < p < 2n. (Bertrandův postulát)
  • P je prvočíslo, právě když (p-1)! \equiv -1 \pmod p. (Wilsonova věta)
  • Pokud G je konečná grupa a p^n je nejvyšší mocnina prvočísla p, která dělí řád grupy G, má grupa G podgrupu řádu p^n.
  • Pokud p je prvočíslo a G je grupa s p^n prvky, obsahuje G prvek řádu p.
  • Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je p1, p2, …, pn. Potom číslo x = p1 · p2 ··· pn + 1 není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo x musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem). Tento důkaz předvedl Eukleidés.
  • Suma převrácených hodnot prvočísel diverguje.
  • Hustota prvočísel je asymptoticky 1/\ln(n), kde \ln(n) je přirozený logaritmus n. Přesněji, \pi(n)\simeq n/\ln(n), kde prvočíselná funkce \pi(n) vyjadřuje počet prvočísel menších než n.
  • Největší dnes (2013) známé prvočíslo je 257 885 161 − 1, má 17 425 170 dekadických cifer.[1] Je to 48. známé Mersennovo prvočíslo, označované jako M57885161. Bylo nalezeno 25. ledna 2013.

Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.

Výskyt prvočísel[editovat | editovat zdroj]

Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly n a 2n pro n > 1. Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší n daleko více. Z této věty ihned také plyne nekonečný počet prvočísel.

Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval (k+1)!+2, (k+1)!+3, … (k+1)!+k+1 (vizte faktoriál) obsahuje k složených čísel. Tato čísla jsou totiž po řadě dělitelná dvěma, třemi, …, k+1.

Mnoho hypotéz o rozložení prvočísel je dodnes nevyřešených. Jeden otevřený problém je tzv. Riemannova hypotéza, která souvisí s pravidelností rozložení prvočísel a za jejíž důkaz je vypsána odměna milion dolarů.

Důkaz nekonečného počtu prvočísel[editovat | editovat zdroj]

Tento důkaz je jednodušší, než by se mohlo zdát. Řekněme počet prvočísel je n, máme tedy prvočísla p1, p2, ..., pn a jejich součin je P. Ale číslo P+1 není dělitelné žádným z těchto prvočísel, kdyby bylo, bylo by i číslo 1 dělitelné tím samým prvočíslem, což zřejmě není možné. A tedy je prvočísel nekonečně mnoho.

Využití[editovat | editovat zdroj]

Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA.

Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto.

Prvočísla do 1000[editovat | editovat zdroj]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Testování prvočíselnosti[editovat | editovat zdroj]

Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002. Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější. V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu.

Testování prvočíselnosti pomocí algoritmu využívajícího vlastností eliptických křivek (ECPP) je nejrychlejší známý algoritmus.[2]

Příklad testovacího algoritmu[editovat | editovat zdroj]

Následující jednoduchý algoritmus implementovaný v jazyce C++ zkouší dělit vstup všemi menšími čísly od 2 do jeho odmocniny - pokud nalezne v tomto intervalu dělitele zadaného čísla, je jasné, že zadané číslo není prvočíslo. Testovat stačí pouze do odmocniny, protože pokud n je složené číslo, můžeme psát: n=a\cdot{}b pro a,b\in\mathbb{N}, a, b>1. Pokud by nestačilo testovat do odmocniny, znamenalo by to, že a > \sqrt{n} a současně b > \sqrt{n}, vynásobíme-li ale tyto dva vztahy, máme a\cdot{}b > n, což je spor.

bool isPrime(int number) {
    if (number < 2) return false;
    if (number == 2) return true;
    if (number % 2 == 0) return false;
 
    int max = (int) sqrt(number);
 
    for (int i = 3; i <= max; i += 2) {
        if (number % i == 0) {
            return false;
        }
    }
 
    return true;
}

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. NÝVLT, Václav. Největší známé prvočíslo na světě má 17 milionů číslic a je k ničemu. iDNES.cz [online]. . Dostupné online.  
  2. (anglicky)The prime pages, primes.utm.edu

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]