Dělitelnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Dělitelnost je vlastnost celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p), jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že

p = kq.

Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Alternativně je p dělitelné q, jestliže zbytek po dělení p / q je nula.

Obsah 1 Obecně 2 Vlastnosti dělitelnosti 3 Sudá a lichá čísla 4 Prvočísla 5 Dělitelnost prvočíslem 6 Prvočinitel 7 Kritéria dělitelnosti 7.1 Obecné kritérium dělitelnosti

[editovat] Obecně

• Číslo p se nazývá dělenec,
• číslo q se nazývá dělitel,
• číslo k se nazývá podíl čísla p při dělení číslem q,
• v oboru celých čísel mají čísla p a −p tytéž dělitele,
• čísla 1, −1, p a −p se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel p a −p,
• existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální),
• každé celé číslo mimo nuly je dělitelem nuly, nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly.
• Pokud b je dělitelné a, píše se a|b (a dělí b)

[editovat] Vlastnosti dělitelnosti

• (Když a dělí b,tak a dělí jakýkoli násobek b)

• (Pokud a dělí b a b dělí c,tak a dělí c.) Tato vlastnost je ekvivalentní té první.

• (Když a dělí dvě čísla,tak a dělí i jejich součet.

[editovat] Sudá a lichá čísla

Celé číslo dělitelné dvěma se nazývá sudé. Pokud číslo není sudé, nazývá se liché.

[editovat] Prvočísla

Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá složené číslo.

[editovat] Dělitelnost prvočíslem

Pro každé přirozené čislo a větší jedné existuje alespoň jedno prvočíslo p,které dělí a.Pokud navíc a je složené,tak

Důkaz je následovný:

Množina dělitelů a bez 1 je konečná,nechť tedy p je její minimum.Pokud a je prvočíslo,tak a=p,tím pádem existuje prvočíslo které dělí a.

Pokud a je složené,tak p je prvočíslo.Tento fakt lze dokázat sporem.Předpokládejme že p není prvočíslo.Potom p=q*q'(1<q<p<a). Ovšem pokud p dělí a a q dělí p,tak q dělí a.Avšak 1<q<p,to odporuje faktu,źe p je nejmenší dělitel a větší jedné.Z toho vyplývá,že p je prvočíslo.

Zbývá dokázat,že .

Nechť a=p.k(k∈).Platí p≤k p≤k² p.k=a≤k²

[editovat] Prvočinitel

Prvočíslo, které dělí číslo p, se nazývá prvočinitel. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz faktorizace).

Každé prvočíslo s výjimkou čísla 1 má jen 2 dělitele; sebe samo a 1. Číslo 1 má jen sebe samo.

Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná.

[editovat] Kritéria dělitelnosti

Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup.

q	kritérium	příklad
2	je-li poslední číslice sudá	128, 1002
3	je-li ciferný součet dělitelný 3	228 (2+2+8=12, 1+2=3)
4	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4	612,1008
5	je-li posledním místě 5 nebo 0	35, 10540
6	je-li číslo dělitelné 2 a 3	924, 29250
7	je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7 je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice od zadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5	2022048 (002-022+048 = 28) 138309241 : 1*1+4*3+2*2+9*6+0*4+3*5+8*1+3*3+1*2=105 (1*5+3*0+2*1=7, číslo dělitelné 7), 138309241 je tedy dělitelné 7
8	je-li poslední trojčíslí dělitelné 8	12504
9	je-li ciferný součet dělitelný 9	1683 (1+6+8+3=18)
10	je-li na posledním místě 0	1220, 2180
11	je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti, je-li součet jednotlivých dvojčíslí dělitelný 11, je-li rozdíl trojčíslí na sudých a lichých místech dělitelný 11	5357 (-5 +3 -5 +7)=0) 5357 ((53 + 57)= 110) 5357 ((-5 + 357)= 352)
12	je-li číslo dělitelné 3 a 4 zároveň, je dělitelné i 12.	65 412 (6+5+4+1+2=18 → dělitelné třemi → OK); 65 412 (12/4=3 → OK)
13	je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti	2022046 (002-022+046 = 26)
14	je-li číslo dělitelné 2 a 7	868, 5964
15	je-li číslo dělitelné 3 a 5	930, 1170
16	je-li číslo dělitelné 2 a 8	1456, 1552
17	je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledeky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo.	51153 ((53-(2*11))/2 + 2*5 = 25.5 a 255 je dělitelné 17)
18	je-li číslo dělitelné 9 a 2 nebo 6 a 3	1134, 162
20	je-li číslo dělitelné 5 a 4, je-ji dělitelné 2 a 10, je-li poslední dvojčíslí dělitelné 20	1680, 5142800, 948150
25	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 25	125, 15475
100	jsou-li poslední dvě číslice 0 (00)	15400, 700
1000	jsou-li poslední tři číslice 0 (000)	154000, 7000

[editovat] Obecné kritérium dělitelnosti

Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami — číslo x je dělitelné prvočíslem n právě když Σ_k α_ka_k je dělitelné n, kde x   =   a₀ + 10a₁ + 100a₂ + 1000a₃ + …+10ⁿa_n, neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10.

Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých kongruencí . Řešení jsou tedy zbytky po dělení 10^k/n.

Například číslo x je dělitelné 17 právě když a₀ − 7a₁ − 2a₂ − 3a₃ + 4a₄ + 6a₅ − 8a₆ + 5a₇ − a₈ + 7a₉ + 2a₁₀ + 3a₁₁ − 4a₁₂ − 6a₁₃ + 8a₁₄ − 5a₁₅ + a₁₆ … je dělitelné 17.