Dělitelnost

Dělitelnost je vlastnost celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p), jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že

p = kq.

Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Alternativně je p dělitelné q, jestliže zbytek po dělení $p/q$ je nula.

Obecně

• Číslo p se nazývá dělenec,
• číslo q se nazývá dělitel,
• číslo k se nazývá podíl čísla p při dělení číslem q,
• v oboru celých čísel mají čísla p a −p tytéž dělitele,
• čísla 1, −1, p a −p se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel p a −p,
• existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální),
• každé celé číslo mimo nuly je dělitelem nuly, nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly.
• Pokud b je dělitelné a, píše se a|b (a dělí b)

Vlastnosti dělitelnosti

• $a|b \implies \forall k \in \mathbb{Z} a|k \cdot b$ (Když a dělí b,tak a dělí jakýkoli násobek b)

• $a|b \and b|c \implies a|c$ (Pokud a dělí b a b dělí c,tak a dělí c.) Tato vlastnost je ekvivalentní té první.

• $a|b \and a|c \implies a|(b+c)$(Když a dělí dvě čísla,tak a dělí i jejich součet.

Sudá a lichá čísla

Celé číslo dělitelné dvěma se nazývá sudé. Pokud číslo není sudé, nazývá se liché.

Prvočísla

Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá složené číslo.

Dělitelnost prvočíslem

Pro každé přirozené čislo a větší jedné existuje alespoň jedno prvočíslo p, které dělí a. Pokud navíc a je složené, tak $p \leq \sqrt{a}$.

Důkaz je následovný:

Množina dělitelů a bez 1 je konečná, nechť tedy p je její minimum. Pokud a je prvočíslo, tak a = p, tím pádem existuje prvočíslo, které dělí a.

Pokud a je složené, tak p je prvočíslo. Tento fakt lze dokázat sporem. Předpokládejme, že p není prvočíslo. Potom p = q · r (1 < q < p < a). Ovšem pokud p dělí a a q dělí p, tak q dělí a. Avšak 1 < q < p, což odporuje faktu, že p je nejmenší dělitel a větší jedné. Z toho vyplývá, že p je prvočíslo.

Zbývá dokázat, že $p \leq \sqrt{a}$.

Nechť a = p · k ( k ∈$\mathbb{N}$). Platí p ≤ k · p ≤ $k^2$, p · k = a ≤ $k^2$

$p\leq \sqrt{a} \leq k$

Prvočinitel

Prvočíslo, které dělí číslo p, se nazývá prvočinitel. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz faktorizace).

Každé prvočíslo s výjimkou čísla 1 má jen 2 dělitele; sebe samo a 1. Číslo 1 má jen sebe samo a tudíž má exkluzivní postavení, není ani prvočíslem ani číslem složeným.

Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná.

Kritéria dělitelnosti

Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti celých čísel v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup.

q	kritérium	příklad
0	pouze 0 je dělitelná 0
1	všechna celá čísla jsou dělitelná 1
2	je-li na místě jednotek sudé číslo	128, 1002
3	je-li ciferný součet dělitelný 3	228 (2+2+8=12, 1+2=3)
4	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4	612,1008
5	je-li na místě jednotek 5 nebo 0	35, 10540
6	je-li číslo dělitelné 2 a 3	924, 29250
7	je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7 je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice od zadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5	2022048 (002-022+048 = 28) 138309241 : 1×1+4×3+2×2+9×6+0×4+3×5+8×1+3×3+1×2=105 (1×5+3×0+2×1=7, číslo dělitelné 7), 138309241 je tedy dělitelné 7.
8	je-li poslední trojčíslí dělitelné 8	12504.
9	je-li ciferný součet dělitelný 9	1683 (1+6+8+3=18)
10	je-li na místě jednotek 0	1220, 2180
11	je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti, je-li součet jednotlivých dvojčíslí dělitelný 11, je-li rozdíl trojčíslí na sudých a lichých místech dělitelný 11	5357 (-5 +3 -5 +7)=0) 5357 ((53 + 57)= 110) 5357 ((-5 + 357)= 352)
12	je-li číslo dělitelné 3 a 4 zároveň, je dělitelné i 12.	65 412 (6+5+4+1+2=18 → dělitelné třemi → OK); 65 412 (12/4=3 → OK)
13	je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti	2022046 (002-022+046 = 26)
14	je-li číslo dělitelné 2 a 7	868, 5964
15	je-li číslo dělitelné 3 a 5	930, 1170
16	je-li poslední čtyřčíslí dělitelné 16	1456, 1552
17	je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo. jestliže pětinásobek poslední cifry odečtený původním číslem je dělitelný 17	51153 ((53-(2×11))/2 + 2×5 = 25,5 a 255 je dělitelné 17) 867 = 86-(7x5) = 51 je dělitelné 17.
18	je-li číslo dělitelné 9 a 2	1134, 162
19	je-li součet počtu desítek s dvojnásobkem jednotek dělitelný 19	10735 → 1073+2x5=1083 → 108+2x3=114 → 11+2x4=19
20	je-li číslo dělitelné 5 a 4, je-li poslední dvojčíslí dělitelné 20	1680, 5142800
25	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 25	125, 15475
30	je-li číslo dělitelné 3 a 10	4590 , 631110
40	je-li poslední trojčíslí dělitelné 40	5200,6840
50	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 50	550,700
100	jsou-li poslední dvě číslice 0 (00)	15400, 700
1000	jsou-li poslední tři číslice 0 (000)	154000, 7000

Obecné kritérium dělitelnosti

Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami — číslo x je dělitelné prvočíslem n právě když Σ_k α_ka_k je dělitelné n, kde x   =   a₀ + 10a₁ + 100a₂ + 1000a₃ + …+10ⁿa_n, neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10.

Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých kongruencí $\alpha_k \equiv 10^k\,(mod\ n)$. Řešení jsou tedy zbytky po dělení 10^k/n.

Například číslo x je dělitelné 17 právě když a₀ − 7a₁ − 2a₂ − 3a₃ + 4a₄ + 6a₅ − 8a₆ + 5a₇ − a₈ + 7a₉ + 2a₁₀ + 3a₁₁ − 4a₁₂ − 6a₁₃ + 8a₁₄ − 5a₁₅ + a₁₆ … je dělitelné 17.

Reference

• BAKALÁŘSKÁ PRÁCE DĚLITELNOST - modely dělitelnosti v různých soustavách a v gaussových oborech integrity