Wilsonova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Wilsonova věta (pojmenovaná po Johnu Wilsonovi) je matematická věta, která zní:

Číslo p > 1 je prvočíslo, právě když (p-1)!\ \equiv -1 \pmod p.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Mohou nastat tři případy:

  1. p je prvočíslo.
    Ke každému z čísel, jejichž součin je na levé straně kongruence, existuje číslo inverzní modulo p, inverze je bijekcí, jediná dvě čísla, která se v ní zobrazí sama na sebe, jsou 1 a p − 1. Ostatní čísla se vždy vykrátí s inverzemi, na levé straně je tedy součin 1 \cdot (p-1) \equiv -1 \pmod p.
    Asi by se melo explicitně dokázat, ze 1 a (p-1) jsou jediná idempotentní čísla (tj. a*a mod p = 1): Předpokládejme, že  a^2 \equiv 1
    a^2 - 1 \equiv 0
    (a-1)(a+1) \equiv 0 .
    Protože cyklická (prvočíselná) grupa nemá žádné dělitele nuly kromě 0 a p, je tedy a-1 = 0 nebo a+1 = p.
  1. p je složené, p > 4, pak lze rozlišit dva případy:
    1. Mezi čísly 1, 2, …, p − 1 existují dvě různá čísla a, b taková, že p = ab, takže (p-1)!\ \equiv 0 \pmod p.
    2. p je druhá mocnina prvočísla q, q > 2. Pak jsou mezi čísly 1, 2, …, p − 1 čísla q, 2q, 2q^2 | (p-1)!, (p-1)!\ \equiv 0 \pmod p
  2. p = 4
    (p-1)! = 6\ \equiv 2 \pmod 4