Těleso (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Komutativní těleso (angl. field) je takové těleso, že navíc obě operace jsou komutativní. V tělese (okruhu) se předpokládá komutativita pouze sčítání. Zatímco jak v angličtině, tak ve slovenštině mají pro komutativní tělesa vlastní název, v češtině se často komutativní tělesa označují pro jednoduchost jen jako komutativní tělesa, případně jako pole.

Definice tělesa[editovat | editovat zdroj]

Trojici (\mathcal{F},+,\cdot), kde \mathcal{F} je množina a + (sčítání) a \cdot (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li (\mathcal{F}, +, \cdot) okruh a platí-li navíc

  • pro každé x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \} existuje y \in \mathcal{F} tak , že x \cdot y = y \cdot x = 1, což značíme y = x^{-1}
.

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

a(b+c) = ab + ac
(b+c)a = ba + ca

V komutativním tělese navíc požadujeme, aby i multiplikativní grupa byla komutativní, tj.  ab = ba .

Nadtěleso tělesa \mathcal{F} je takové těleso, že \mathcal{F} je jeho podmnožinou.

Příklady těles[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]