Těleso (algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

[editovat] Definice tělesa

Trojici $(\mathcal{F},+,\cdot)$ , kde $\mathcal{F}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li $(\mathcal{F}, +, \cdot)$ okruh a platí-li navíc

pro každé $x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}$ existuje $y \in \mathcal{F}$ tak , že $x \cdot y = y \cdot x = 1$ , což značíme $y = x - 1$ .

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa,
násobení, příčemž $(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

a (b + c) = a b + a c

(b + c) a = b a + c a

Komutativní těleso (bývá také označováno jako pole z anglického field) je takové, že operace násobení $\cdot$ je komutativní, tzn. pro každé $x,y \in \mathcal{F}$ platí $x \cdot y = y \cdot x$ .

Nadtěleso tělesa $\mathcal{F}$ je takové těleso, že $\mathcal{F}$ je jeho podmnožinou.

[editovat] Příklady těles

Množina racionálních čísel $\mathbb{Q}$
Množina reálných čísel $\mathbb{R}$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel $\mathbb{C}$
Kvaterniony, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel $\mathbb{R}$
Množina zbytkových tříd $\mathbb{Z}_p$ pro nějaké prvočíslo $p$ .