Těleso (algebra)

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Komutativní těleso (angl. field) je takové těleso, že navíc obě operace jsou komutativní. V tělese (okruhu) se předpokládá komutativita pouze sčítání. Zatímco jak v angličtině, tak ve slovenštině mají pro komutativní tělesa vlastní název, v češtině se často komutativní tělesa označují pro jednoduchost jen jako komutativní tělesa, případně jako pole.

Definice tělesa

Trojici $(\mathcal{F},+,\cdot)$, kde $\mathcal{F}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li $(\mathcal{F}, +, \cdot)$ okruh a platí-li navíc

• pro každé $x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}$ existuje $y \in \mathcal{F}$ tak , že $x \cdot y = y \cdot x = 1$, což značíme $y = x^{-1}$.

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

• sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
• násobení, přičemž $(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

$a(b+c) = ab + ac$

$(b+c)a = ba + ca$

V komutativním tělese navíc požadujeme, aby i multiplikativní grupa byla komutativní, tj. $ab = ba$.

Nadtěleso tělesa $\mathcal{F}$ je takové těleso, že $\mathcal{F}$ je jeho podmnožinou.

Příklady těles

• Množina racionálních čísel $\mathbb{Q}$
• Množina reálných čísel $\mathbb{R}$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel $\mathbb{C}$
• Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel $\mathbb{R}$
• Těleso (reálných) racionálních funkcí $\mathbb{R}(x)$
• Množina zbytkových tříd $\mathbb{Z}_p$ pro každé prvočíslo $p$.
• Galoisova tělesa $\operatorname{GF}(p^n)$

Související články

• Archimédovské těleso (algebra)

Externí odkazy

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Komutativní těleso na MathWorld (en)
• Generování konečných těles