Okruh (algebra)

Okruh je v matematice algebraická struktura se dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy monoidu. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel se sčítáním a násobením.

Definice okruhu

Strukturu $R$ s nosičem R a dvěma binárními operacemi + (sčítání) a · (násobení) na R nazýváme okruh, platí-li pro každé x, y, z prvky R následující axiomy:

1. Uzavřenost obou operací: x + y i x · y jsou prvky R.
2. Asociativita sčítání i násobení: (x + y) + z = x + (y + z), (x · y) · z = x · (y · z).
3. Existence nulového prvku 0.
4. Existence opačného prvku: pro každé x z R existuje y z R tak, že x + y = 0 = y + x, značíme y = −x.
5. Komutativita sčítání: x + y = y + x.
6. (Oboustranná) distributivita násobení ke sčítání: x · ( y + z) = (x · y) + (x · z), ( y + z) · x = ( y · x) + (z · x).

Vlastnosti

Množina R s operací +, tj. (R, +), je tedy Abelova grupa. Množina R s operací ·, tj. (R, ·), je tedy monoid.

Pokud navíc existuje jednotkový prvek (neutrální při násobení), jedná se o unitární okruh (nebo prostě s jednotkovým prvkem). Pokud navíc neexistují tzv. dělitelé nuly, jedná se o tzv. obor. Pokud je obor navíc komutativní, jedná se o obor integrity.

Pokud existují v unitárním okruhu převrácené prvky, nazýváme takový okruh těleso. Jeho nenulové prvky tvoří tedy s operací násobení grupu.

Příklady okruhů

• Obor celých čísel $\scriptstyle \mathbb{Z}$
• Lineární zobrazení na $\scriptstyle \mathbb{R}^n$ s operací sčítání a skládání tvoří okruh. Obecná zobrazení však okruh netvoří, neboť není splňen předpoklad distributivity skládání.
• Triviální okruh R = {0}. Jedná se o jediný okruh takový, že 0 = 1.

Podokruh

S je neprázdná podmnožina okruhu (R, +, ·) je podokruh (S, +, ·) okruhu R, právě když pro všechna a, b z S do něj patří a-b i a·b.

Související články

• Grupa
• Těleso
• Obor integrity

Externí odkazy

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Okruh na MathWorld (en)
• Podokruh na MathWorld (en)