Lineární zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Pojmem lineární zobrazení (lineární transformace) se v matematice označuje takové zobrazení mezi vektorovými prostory X a Y, které zachovává vektorové operace sčítání a násobení skalárem. Název lineární je odvozen z faktu, že grafem obecného lineárního zobrazení z reálných čísel do reálných čísel je přímka.

Lineární zobrazení mají velký význam, protože se pomocí nich dá modelovat velké množství jevů běžného světa. V matematice jsou naopak ceněna právě pro relativní snadnost manipulace. Často se například hledá tzv. linearizace jistého (nelineárního) zobrazení f, tedy takové lineární zobrazení L, které se v jistém smyslu podobá původnímu f.

Matematická definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť X a Y jsou lineární prostory nad týmž tělesem K. Zobrazení L:X \to Y se nazývá lineární, pokud pro všechna x,y z X a všechna q z K splňuje

  • L(x+y)=L(x)+L(y) (aditivita),
  • L(q x)=q L(x) (homogenita).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • přímá úměrnost je v podstatě lineární zobrazení
  • lineární zobrazení mezi konečně-dimenzionálními prostory jsou reprezentována pomocí matic
  • geometrická zobrazení v rovině (kromě posunutí, které nezachovává počátek) - středová a osová souměrnost, stejnolehlost, rotace
  • derivace ve vektorovém prostoru diferencovatelných funkcí
  • terminologie je bohužel trochu matoucí: lineární funkce (jako zobrazení vektorového prostoru reálných čísel do sebe tvaru f(x)=ax+b) je obecně pouze afinním zobrazením, tedy obecně lineárním zobrazením není.

Související pojmy[editovat | editovat zdroj]

Jádro lineárního zobrazení A je taková podmnožina definičního oboru A, kterou A zobrazuje na nulový vektor. Jádro zobrazení A značíme symbolem \scriptstyle \ker A. Přesněji: Mějme dva lineární vektorové prostory \scriptstyle P a \scriptstyle Q nad stejným číselným tělesem \scriptstyle T. Dále nechť \scriptstyle A je lineární zobrazení z \scriptstyle P do \scriptstyle Q, tj.\scriptstyle A \in \mathcal{L}(P,Q). Pak jádro zobrazení \scriptstyle A je množina

\ker A = \{ \vec{x} \in P | A(\vec{x}) = \vec{0}_Q \},

kde \scriptstyle \vec{0}_Q označuje nulový vektor v prostoru \scriptstyle Q.