Kvaternion

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice se pojmem kvaternion označuje nekomutativní rozšíření komplexních čísel. Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon ab = ba, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (přestože mnohdy se jejich použití lze za jistou cenu vyhnout s pomocí vektorů). Ve skutečnosti je však mezi kvaterniony a 4-rozměrnými vektory principiální rozdíl: Operace dělení je mezi dvěma kvaterniony definována, zatímco mezi dvěma vektory tato operace vůbec neexistuje.

Obsah

[editovat] Definice

Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z reálných přidáním prvku i splňujícího i2 = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků i, j a k tak, že jsou splněny následující vztahy.

i2 = j2 = k2 = ijk = − 1
\begin{matrix} ij & = & k, & & & & ji & = & -k, \\ jk & = & i, & & & & kj & = & -i, \\ ki & = & j, & & & & ik & = & -j. \end{matrix}

Každý kvaternion je lineární kombinací prvků 1, i, j a k, což znamená, že jej lze psát jako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

[editovat] Příklad

Nechť

\begin{matrix} x & = & 3 + i \\ y & = & 5i + j - 2k \end{matrix}

Pak (při násobení se využívají vztahy uvedené výše)

\begin{matrix} x + y & = & 3 + 6i + j - 2k \\ \\ xy & = & (3 + i)(5i + j - 2k)=15i + 3j - 6k + 5i^2 + ij - 2ik \\ & = & 15i + 3j - 6k - 5 + k + 2j=-5 + 15i + 5j - 5k \\ \end{matrix}

[editovat] Základní vlastnosti

Množina kvaternionů se v matematice typicky značí písmenem \mathbb{H} (podle objevitele Hamiltona).

Kvaterniony jsou asociativní podílová algebra nad tělesem reálných čísel. Je na nich definováno (pravé a levé) dělení a jako množina spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří těleso. Je nekomutativní, jeho centrum je \mathbb{R}. Je to největší nadtěleso reálných čísel.

Pro kvaternion h = a + bi + cj + dk definujeme jeho konjugaci jako \bar{h}\equiv a-bi-cj-dk. Platí, že součin h\bar{h}=\bar{h}h=a^2+b^2+c^2+d^2 je nezáporné reálné číslo a je rovno nule pouze pro nulový kvaternion h = 0.

Inverzní prvek ke kvaternionu h je kvaternion h^{-1}=\bar{h}/(h\bar{h}) (dělení reálným číslem h\bar{h} je definováno po složkách).

Norma kvaternionu h se definuje jako |h|\equiv\sqrt{h\bar{h}}. Násobení zachovává normu, t.j. pro kvaterniony h,q platí | hq | = | h | | q | . Z toho plyne, že množina kvaternionů normy 1 tvoří grupu. Tato množina je topologická sféra S3 a jako Lieova grupa je izomorfní SU(2) (Jediné sféry, které jsou i Lieovy grupy, jsou S0,S1aS3).

Grupa automorfizmů kvaternionů je izomorfní SO(3). Prvku A\in SO(3) přidadíme automorfizmus a+\mathbf{v}\mapsto a+A\mathbf{v}, kde a\in\mathbb{R}, \mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 a a+\mathbf{v}:=a+iv^1 +jv^2 +k v^3 pro \mathbf{v}=(v^1, v^2, v^3). Podobně grupa všech automorfizmů i anti-automorfizmů je izomorfní grupě O(3).

Algebra kvaternionů je izomorfní Cliffordově algebře Cliff0,2.

[editovat] Příklady využití

[editovat] Rotace v R^3

Každý kvaternion můžeme zapsat ve tvaru a+\mathbf{v}, kde a\in\mathbb{R} a \mathbf{v}=v^1 i+ v^2 j + v^3 k, kde \mathbf{v} chápeme jako vektor v \mathbb{R}^3. Pro libovolný čistě imaginární kvaternion \mathbf{v} a libovolný kvaternion h\neq 0 platí, že h\mathbf{v}h^{-1} je opět čistě imaginární (t.j. vektor) a zobrazení \mathbf{v}\mapsto h\mathbf{v}h^{-1} je rotace v \mathbb{R}^3. Můžeme se omezit na jedničkové kvaterniony | h | = 1. Pak platí:

rotace kolem osy \mathbf{o} o úhel \varphi je reprezentována kvaternionem h=\cos(\varphi/2)+\sin(\varphi/2)\mathbf{o}, kde \mathbf{o} je jedničkový vektor ve směru osy o (otáčí v kladném směru, když se díváme se směru o).

Ke každé rotaci přísluší 2 jedničkové kvaterniony h a − h. To kromě jiného dokazuje, že třírozměrná sféra S3 je 2:1 nakrytí SO(3).

Zároveň je to nejjednodušší způsob, jak rotace kolem nějaké osy v \mathbb{R}^3 spočíst (třebaže z neznámých důvodu není moc známý).

[editovat] Rotace v R^4

Kvaterniony můžme přirozeně ztotožnit s prvky prostoru \mathbb{R}^4. Pro libovolnou dvojici jedničkových kvaternionů h,q je zobrazení v\in\mathbb{H}\mapsto h v q\in\mathbb{H} rotace v \mathbb{R}^4\simeq\mathbb{H}. Každé rotaci \mathbb{R}^4 odpovídají takto právě dvě dvojice jedničkových kvaternionů h,q a − h, − q. To objasňuje strukturu grupy SO(4): plyne z toho hned, že SO(4)\simeq (S^3\times S^3)/\mathbb{Z}_2.


[editovat] Platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru

Pomocí kvaternionů lze nalézt některá platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. Prvním faktem, který je potřeba si uvědomit je, že žádné platónská těleso se nezmění, pokud jej pootočíme tak, že každý vrchol přejde do vrcholu jiného. Potom je potřeba si všimnout, že pokud máme čtyřrozměrný vektor (a,b,c,d) a přiřadíme mu kvaternion a + bi + cj + dk, potom pokud sadu takových vektorů (kvaternionů) vynásobíme jednotkovým kvaternionem, tak se všechny tyto vektory pouze otočí. (Jsou násobené jednotkovým kvaternionem, takže se nezmění jejich velikost, jen směry, a to lineárně.) Pak si všimneme, že v kvaternionech existují uzavřené konečné grupy vůči násobení, které mají následující členy:

všechny permutace (±1, 0, 0, 0) (8 členů)
předchozí grupa + 16 čtveřic (±½, ±½, ±½, ±½)
předchozí grupa + všechny sudé permutace ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pro každou z těchto grup tedy platí, že násobíme-li členy grupy mezi sebou, výsledkem je opět prvek dané grupy. To ovšem znamená, že každá grupa představuje vrcholy nějakého platónského tělesa ve čtyřrozměrném prostoru! To proto, že právě tehdy, když jde o platónské těleso, je splněna vlastnost, že při otočení daného tělesa tak, aby se vrchol dostal do vrcholu (čemuž právě násobení jednotkovými kvaterniony z dané grupy odpovídá) zůstane těleso stejné.

[editovat] Související články

[editovat] Reference

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Kvaternion“