Permutace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Permutace \ n prvků je skupina všech \ n prvků, které jsou uspořádány v jakémkoliv možném pořadí, tzn. výběr prvků závisí na pořadí. Rozlišujeme permutace bez opakování a s opakováním.

Obecněji je permutace chápána jako bijektivní zobrazení z množiny \ A na množinu \ A.

Obsah

[editovat] Permutace bez opakování

Pokud se prvky ve výběru nemohou opakovat, pak počet všech možných výběrů je určen vztahem

\ P(n) = n!,

kde \ n! označuje faktoriál.

Pokud se hovoří o permutacích prvků, jsou tím obvykle myšleny permutace bez opakování.

[editovat] Příklad

Mějme skupinu tří různých prvků a,b,c.

Permutace těchto prvků představují skupiny abc, acb, bac, bca, cab, cba. Jejich počet je tedy

\ P(3) = 3! = 6

[editovat] Permutace s opakováním

Pokud se prvky ve výběru mohou opakovat, pak počet permutací s opakováním je určen jako

P_{n_1,n_2,...,n_k}(n) = \frac{n!}{{n_1!}\cdot{n_2!}\cdot...\cdot{n_k!}},

přičemž mezi vybranými prvky je \ k skupin, které mají postupně \ n_1,n_2,...,n_k stejných prvků. Musí přitom platit - n = \sum_{i=1}^{k} n_i


[editovat] Příklad

Mějme skupinu tří prvků a,a,b. Skupina je tedy složena ze dvou skupin (tedy \ k=2), přičemž první skupina má dva prvky \ a, tzn. \ n_1 = 2, a druhá skupina obsahuje jeden prvek \ b, tzn. \ n_2 = 1.

Permutacemi s opakováním získáme skupiny aab, aba, baa. Počet těchto skupin je tedy roven

P_{2,1}(3) = \frac{3!}{{2!}\cdot{1!}} = 3

[editovat] Zápis

Permutace lze zapsat tabulkou, kde v horním řádku je vstupní hodnota funkce a v dolním její výsledná hodnota. Nebo se zapisuje jako spojení cyklů nebo transpozic.

Permutace je lichá, pokud lze vyjádřit spojením lichého počtu cyklů délky 2. Permutace je sudá, pokud lze vyjádřit spojením sudého počtu cyklů délky 2.

[editovat] Příklad zápisu

Pomocí tabulky lze permutaci množiny {1,2,3,4,5,6} zapsat jako

\pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 1 & 5 & 2 & 4 &6\end{pmatrix}

Pomocí cyklů a transpozic lze předchozí permutaci zapsat jako

\pi = (1,3,5,4,2) = (1,3) \circ (3,5,4,2) = (1,3) \circ (3,5) \circ (5,4) \circ (4,2)

Tato permutace je sudá.

[editovat] Samodružný prvek

Každý prvek r \in M, pro který platí π(r) = r, se nazývá samodružným prvkem. V opačném případě se jedná o prvek nesamodružný.

Jestliže každý prvek permutace je samodružný, pak hovoříme o identické (jednotkové) permutaci. Příkladem takové permutace je

\pi = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 &6\end{pmatrix}

[editovat] Inverzní permutace

K permutaci

\pi = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ b_1 & b_2 & ... & b_n\end{pmatrix}

je možné vytvořit inverzní permutaci

\pi^{-1} = \begin{pmatrix}b_1 & b_2 & ... & b_n \\ a_1 & a_2 & ... & a_n\end{pmatrix}

Inverzní permutaci značíme π − 1

Složením permutace π a k ní inverzní permutace π − 1 získáme identickou permutaci.

[editovat] Skládání permutací

Mějme na množině M dvě permutace

\pi_1 = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ b_1 & b_2 & ... & b_n\end{pmatrix} \pi_2 = \begin{pmatrix}b_1 & b_2 & ... & b_n \\ c_1 & c_2 & ... & c_n\end{pmatrix}

Složením permutací π1,π2 (hovoříme také o součinu permutací) je permutace

\pi = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & ... & a_n \\ c_1 & c_2 & ... & c_n\end{pmatrix} (pozor, toto je skládání z leva do prava, někdy se používá opačné)


Součin permutací zkráceně zapíšeme \pi = \pi_1 \circ \pi_2

Násobení permutací není v obecném případě komutativní, tzn. \pi_1 \circ \pi_2 \neq \pi_2 \circ \pi_1.

[editovat] Vlastnosti

Máme-li na dané množině M permutace \pi, \pi_1, \pi_2, \pi_3 \,\! a identickou permutaci I \,\!, pak platí vztahy

\pi_1 \circ ( \pi_2 \circ \pi_3) = ( \pi_1 \circ \pi_2) \circ \pi_3 \,\!
\pi \circ I = I \circ \pi = \pi \,\!
\pi^{-1} \circ \pi = \pi \circ \pi^{-1} = I \,\!


[editovat] Řád permutace

Máme-li permutaci \ \pi, \ \pi^k značí permutaci vzniklou k-násobným složením permutace \ \pi, tj. \ \pi^1 = \pi, \pi^k = \pi \circ \pi^{k-1}. Řád permutace je nejmenší přirozené číslo k takové, pro které platí \ \pi^k = I, tj. po k složeních vznikne identická permutace.

[editovat] Příklad

Zobrazení \ f(a)=a+1 na celých číslech je permutace. Máme-li nyní permutaci \ g(a) = a-3 definovanou na celých číslech. Pak f \circ g(a) = f(g(a)) = f(a - 3) = a - 2.

[editovat] Poznámky

[editovat] Literatura

  • ČERMÁK, Pavel; ČERVINKOVÁ, Petra. Odmaturuj z matematiky. [s.l.] : Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35. Kombinatorika.

[editovat] Související články


Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Permutace“