Znaménko permutace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Znaménko permutace (značené obvykle jako sgn(σ), též označováno jako parita permutace) je charakteristika konkrétní permutace (seřazení množiny čísel), která vyjadřuje, zda je počet inverzí této permutace (počet prvků prohozených oproti seřazené posloupnosti) sudý či lichý. Vyjadřuje se čísly ±1 či pouze příslušným znaménkem +/-: sudý počet inverzí odpovídá kladnému znaménku, lichý zápornému. Tuto vlastnost lze zapsat tak, že

sgn(σ) = (−1)n,

kde n je počet inverzí.

Obsah

[editovat] Definice inverze

Inverze v permutaci p je dvojice prvků a, b taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).

[editovat] Příklad

Permutaci si lze představit jako dvouřádkovou matici:

\begin{pmatrix}a & b & c & d \\ \sigma(a) & \sigma(b) & \sigma(c) & \sigma(d)\end{pmatrix}

např. matice

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}

má počet inverzí 0, proto bude znaménko +. Pro jinou permutaci

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}

platí:

1 < 2 < 3 < 4;1 < 3;1 < 4;2 < 4, potom permutace:
2 < 3 > 1 < 4;2 > 1;2 < 4;3 < 4

má dvě inverze a znaménko bude +.

[editovat] Vlastnosti

Jsou-li π a \pi^\prime dvě permutace na množině M, pak znaménko permutace jejich součinu je rovno součïnu znamének jednotlivých permutací

\sgn {(\pi \circ \pi^{\prime})} = {\sgn (\pi)}\;{\sgn (\pi^{\prime})}

Znaménko inverzní permutace je určeno jako

sgnπ − 1 = sgnπ

Je-li permutace π součinem nezávislých cyklů \pi = \pi_1 \circ \pi_2 \circ ... \circ \pi_m, kde každý z cyklů πi má délku ki + 1, pak

\sgn \pi = \Pi_{i=1}^m {(-1)}^k_i = {(-1)}^{\sum_{i=1}^m k_i}

[editovat] Související články

Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Znam%C3%A9nko_permutace“