Kombinace

Další významy jsou uvedeny v článku Kombinace (rozcestník).

Kombinace $k$-té třídy z $n$ prvků je skupina $k$ prvků vybraných z celkového počtu $n$ prvků, přičemž při výběru nezáleží na pořadí jednotlivých prvků. Rozlišujeme kombinace s opakováním a bez opakování.

Kombinace bez opakování

Počet kombinací $k$-té třídy z $n$ prvků bez opakování, tzn. žádný prvek výběru se nemůže opakovat, je

$C_k(n) = {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$,

kde ${n \choose k}$ představuje kombinační číslo.

Příklad

Mějme skupinu tří prvků $a,b,c$, tzn. $n=3$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat třemi možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$ nebo $c$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$, a tedy počet výběrů je roven

$C_1(3) = {3 \choose 1} = 3$

Chceme-li z uvedené trojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $ab$, $ac$, $bc$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$) bez opakování. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_2(3) = {3 \choose 2} = 3$

Pokud chceme z uvedené trojice prvků vybrat vždy tři, přičemž nám nezáleží na pořadí a žádný prvek nemůžeme vybrat vícekrát, můžeme získat pouze jedinou trojici prvků: $abc$. Jedná se o kombinaci třetí třídy (tedy $k=3$) bez opakování. Pro počet trojic tedy platí

$C_3(3) = {3 \choose 3} = 1$

Kombinace s opakováním

Počet kombinací $k$-té třídy z $n$ prvků s opakováním, tzn. každý prvek se ve výběru může objevit vícekrát, je určen vztahem

$C_k^{\prime}(n) = {{(n + k - 1)} \choose n - 1} = {{(n + k - 1)} \choose k}$

Příklad

Mějme skupinu dvou prvků $a,b$, tzn. $n=2$.

Chceme-li z těchto prvků vybrat vždy jen jeden prvek, můžeme to udělat dvěma možnými způsoby, tzn. vybereme $a$ nebo $b$. Jedná se o kombinaci první třídy, tzn. $k=1$, a tedy počet výběrů je roven

$C_1^{\prime}(2) = {{(2 + 1 - 1)} \choose 1} = {2 \choose 1} = 2$

Je vidět, že u kombinací první třídy není třeba rozlišovat, zda jsou s opakováním nebo bez opakování.

Chceme-li z uvedené dvojice prvků vybrat vždy dva, přičemž nám nezáleží na pořadí a každý prvek můžeme vybrat vícekrát, můžeme získat následující dvojice prvků: $aa$, $ab$, $bb$. Jedná se o kombinaci druhé třídy (tedy $k=2$) s opakováním. Pro počet dvojic pak dostáváme

$C_2^{\prime}(2) = {{(2 + 2 - 1)} \choose 2} = {3 \choose 2} = 3$

Obdobně bychom dostali $C_3^{\prime}(2) = {{(2 + 3 - 1)} \choose 3} = {4 \choose 3} = 4$, atd.

Literatura

• RNDR. PAVEL ČERMÁK, MGR. PETRA ČERVINKOVÁ. Odmaturuj z matematiky. [s.l.] : Didaktis, 2003 (druhé opravené vydání). ISBN 80-86285-97-9. Kapitola 35.Kombinatorika. (česky) 

Související články

• Permutace
• Variace