Determinant

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu $n$ nazýváme součet všech součinů $n$ prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.

Značení

Determinant matice $\mathbf{A}$ s prvky $a_{ij}$ zapisujeme jako

$\det \mathbf{A}$

nebo pomocí prvků jako

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$,

popř. ve zkrácené formě

$\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}$.

Geometrický význam determinantu

Matice řádu 2

Matice 2×2

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$

má determinant

$\det\mathbf{A}=ad-bc \,$.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), a₁=(a,c), a₂=(b,d) a (a + b, c + d). Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů a₁ a a₂. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory a₁ a a₂ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.

Matice řádu 3

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice $\mathbf{B}=(b_{ij})$ řádu 3. Řádkové vektory

$\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{12},b_{13}), \, \mathbf{b}_2=(b_{21},b_{22},b_{23}), \,\mathbf{b}_3=(b_{31},b_{32},b_{33})$

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů b₁,b₂,b₃ pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti b₁,b₂,…,b_n.

Všeobecná definice a výpočet

Nechť $\mathbf{A} = (a_{ij}) \,$ je čtvercová matice.

Matice řádu 1

Pokud A je matice 1×1, je

$\det\mathbf{A} = a_{11} \,$

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2

Pokud A je matice 2×2, je

$\det\mathbf{A} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} \,$

Matice řádu 3

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

$\det\mathbf{A} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \,$

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů

Pro obecnou matici $n$×$n$ determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

$\det\mathbf{A} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n {a}_{i,\sigma(i)}$

Suma se počítá přes všechny permutace $\sigma$ čísel {1, 2, …, n} a $\sgn(\sigma)$ značí znaménko permutace $\sigma$: +1, pokud $\sigma$ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje $n!$ (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem $n$ rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu.

Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $\varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n}$ jako

$\det \mathbf{A} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{1 j_1} a_{2 j_2} \cdots a_{n j_n} = \sum_{j_1,j_2,...,j_n} \varepsilon_{j_1 j_2 \cdots j_n} a_{j_1 1} a_{j_2 2} \cdots a_{j_n n}$

Postupy výpočtu

Gaussova eliminace

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro $i > j$ je $a_{{ij}} = 0$), neboť pro tu platí

$\det\mathbf{A} = a_{{11}} a_{{22}} \cdots a_{{nn}} \,$,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

• Pokud B vznikne z A výměnnou dvou sloupců potom $\det\mathbf{B} = -\det\mathbf{A} \,$
• Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom $\det\mathbf{B} = c\det\mathbf{A} \,$
• Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom $\det\mathbf{B} = \det\mathbf{A} \,$

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Kofaktorová metoda

Pomocí kofaktorové metody můžeme rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Například podle řádku i

$\det\mathbf{A} = \sum_{j=1}^n\ {a}_{ij}{C}_{ij}$

kde ${C}_{ij}$ jsou kofaktory, tedy ${C}_{ij}$ je $(-1)^{i+j}$ krát determinant matice, která vznikne z $A$ odstraněním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. Takováto matice se nazývá submatice a determinant k ní příslušný subdeterminant. Ze vzorce je zřejmé, že je nejvhodnější využívat k rozvinutí řádek nebo sloupec, který obsahuje hodně 0. Tato metoda se též označuje jako Laplaceův rozvoj (podle sloupce nebo řádku).

Vlastnosti

• Pokud lze prvky i-tého řádku psát jako $c \cdot a_{ij}$, pak platí

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c a_{i1} & c a_{i2} & \cdots & c a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = c \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

• Speciální případ předchozí vlastnosti nastane tehdy, máme-li matici $\mathbf{B}$, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice $\mathbf{A}$ řádu $n$ číslem $c$, tzn. $b_{ij} = c \cdot a_{ij}$. Pak platí

$\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}$

• Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

• Determinant je antisymetrický vůči vzájemné výměně dvou řádků, popř. vzájemné výměně dvou sloupců. Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se tedy znaménko determinantu změní na opačné.
• Z předchozích vlastností plyne, že pokud má matice $\mathbf{A}$ dva stejné řádky nebo dva stejné sloupce, tak musí platit $\det \mathbf{A} = - \det \mathbf{A} = 0$.
• Předchozí tvrzení je možné zobecnit na případ, kdy jeden řádek (sloupec) lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců). V takovém případě je determinant nulový.
• Z předchozího plyne, že pokud je jeden z řádků nebo sloupců nulový, je celý determinant roven nule.
• Determinant matice A, kterou získáme z matice B tak, že k libovolnému řádku (sloupci) matice B přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků (sloupců) matice B, je roven determinantu matice B, tzn. $\det \mathbf{A} = \det \mathbf{B}$. Přičteme-li tedy k danému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců), hodnota determinantu se nezmění.
• Nulovost, resp. nenulovost determinantu je jeho důležitou vlastností. Z geometrické interpretace vyplývá, že v případě nulového determinantu má rovnoběžnostěn nulový objem. To nastane jen tehdy, když lze jeden z vektorů vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Vektory (ať už řádkové nebo sloupcové) v tomto případě generují prostor dimenze nižší, než je rozměr matice. Taková matice se nazývá singulární. Naopak matice jejíž determinant je nenulový se nazývá regulární.
• Hodnota determinantu se nezmění, zaměníme-li řádky za sloupce. Determinant matice $\mathbf{A}$ je tedy roven determinantu transponované matice $\mathbf{A}^T$, tzn.

$\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T$.

• Součinem determinantů $\det \mathbf{A}$ a $\det \mathbf{B}$ je determinant $\det \mathbf{C}$, pro který platí

$\begin{vmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{vmatrix}$,

kde prvky matice $\mathbf{C}$ jsou dány jedním z následujících vztahů

$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{kj}$, tzn. násobí se řádky matice A s řádky matice B,

$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{kj}$, tzn. násobí se sloupce matice A s řádky matice B,

$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$, tzn. násobí se řádky matice A se sloupci matice B,

$c_{ik} = \sum_{j=1}^n a_{ji} b_{jk}$, tzn. násobí se sloupce matice A se sloupci matice B.

Odkazy

Související články

• Matice
• Subdeterminant
• Cramerovo pravidlo

Externí odkazy

• (anglicky)  Determinant v encyklopedii MathWorld
• Lineární algebra: determinanty Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-6. Pro matice řádu 4,5,6 zobrazuje postup výpočtu Laplaceovým rozvojem podle řádků/sloupců zvolených uživatelem.
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá determinant z matice řádu 2-8