Inverzní matice

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Značení

Inverzní matici k matici A značíme A^-1.

Vlastnosti

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},$

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Výpočet inverzní matice

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss - Jordanova eliminační metoda. Postup:

1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
   • záměna řádků
   • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
   • přičtení násobku jednoho řádku k jinému
3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

Příklad

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss - Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & -1\end{pmatrix}$

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}$

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme $\frac{1}{2}$ a třetí -1.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -5\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

Výpočet prvků inverzní matice přímo

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice $A^{-1}$ má prvky $a_{i,j}$ kde $i$ je řádek a $j$ je sloupec pak $a_{i,j}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot |A_{j,i}|}{|A|}$, kde $|A_{j,i}|$ je subdeterminant získaný z matice $A$ vynecháním $j$-tého řádku a $i$-tého sloupce, $|A|$ je determinant matice $A$.

Tento postup je pouze rozložením výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice do jednotlivých kroků.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice $\mathbf{A}$ soustavy rovnic čtvercová (tedy $m = n$) a regulární, pak lze řešení $\mathbf{X}$ soustavy rovnic

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B}$

získat pomocí matice $\mathbf{A}^{-1}$, která je inverzní k matici $\mathbf{A}$, neboť platí že

$\mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}$

Související články

• čtvercová matice
• hodnost matice
• determinant
• lineární algebra

Externí odkazy

• Pěstujeme lineární algebru
• Lineární algebra: práce s maticemi
• Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná) Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8
• Online výpočet soustav lineárních rovnic