Inverzní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.


Značení[editovat | editovat zdroj]

Inverzní matici k matici A značíme A-1.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

Výpočet inverzní matice[editovat | editovat zdroj]

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss - Jordanova eliminační metoda. Postup:

  1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat, a jednotkovou matici.
  2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
    • záměna řádků
    • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
    • přičtení násobku jednoho řádku k jinému
  3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
  4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss - Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & -1\end{pmatrix}

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme \frac{1}{2} a třetí -1.

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -5\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}

Výpočet prvků inverzní matice přímo[editovat | editovat zdroj]

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice A^{-1} má prvky a_{i,j} kde i je řádek a j je sloupec pak a_{i,j}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot |A_{j,i}|}{|A|}, kde |A_{j,i}| je subdeterminant získaný z matice A vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce, |A| je determinant matice A.

poté je potřeba matici transponovat.

Tento postup je pouze rozložením výpočtu inverzní matice pomocí adjungované matice do jednotlivých kroků.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic[editovat | editovat zdroj]

Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Je-li matice \mathbf{A} soustavy rovnic čtvercová (tedy m = n) a regulární, pak lze řešení \mathbf{X} soustavy rovnic

\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B}

získat pomocí matice \mathbf{A}^{-1}, která je inverzní k matici \mathbf{A}, neboť platí že

\mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]