Inverzní matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Obsah

1 Značení
2 Vlastnosti
3 Výpočet inverzní matice
4 Příklad
5 Výpočet prvků inverzní matice přímo
6 Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic
7 Související články
8 Externí odkazy

[editovat] Značení

Inverzní matici k matici A značíme A^-1.

[editovat] Vlastnosti

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{1},$

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Pro obdelníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.

[editovat] Výpočet inverzní matice

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:

Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
- záměna řádků
- vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
- přičtení násobku jednoho řádku k jinému
Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.

[editovat] Příklad

V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gaussovou eliminací. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.

Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & -1\end{pmatrix}$

První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}$

Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme $\frac{1}{2}$ a třetí -1.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -5\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.

$\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}$

[editovat] Výpočet prvků inverzní matice přímo

Existuje ještě jiný způsob výpočtu inverzní matice - pomocí determinantů a subdeterminantů. Matice $A - 1$ má prvky $a_{i,j}=\frac{(-1)^{i+j}\cdot |A_{j,i}|}{|A|}$ , kde $| A j, i |$ je subdeterminant získaný z matice $A$ vynecháním $j$ -tého řádku a $i$ -tého sloupce, $| A |$ je determinant matice $A$ .