Trojúhelníková matice

Horní trujúhelníková matice může mít nenulové prvky pouze ve zvýrazněném trojúhelníku, tedy na hlavní diagonále (vyznačené tučně) a nad ní. Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.

Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {L}}$ a horní trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {U}}$. Regulární matice má LU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu $n$ je matice tvaru:

${\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&\ldots &u_{1n}\\0&u_{22}&u_{23}&\ldots &u_{2n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{nn}\end{pmatrix}}$

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: $u_{ij}=0$ pro $i>j$.

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

${\boldsymbol {L}}={\begin{pmatrix}l_{11}&0&0&0&0\\l_{21}&l_{22}&0&0&0\\l_{31}&l_{32}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n1}&l_{n2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{nn}\end{pmatrix}}$

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: $l_{ij}=0$ pro $i<j$.

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí ${\boldsymbol {U}}$ z angl. upper, případně ${\boldsymbol {R}}$ - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol ${\boldsymbol {L}}$ - lower, resp. left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

${\begin{pmatrix}3&2&3&4\\0&5&5&6\\0&0&0&7\\0&0&0&9\end{pmatrix}}$

je horní trojúhelníková, zatímco

${\begin{pmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{pmatrix}}$

je dolní trojúhelníková.

Matice

${\begin{pmatrix}0&0\\-5&0\\\end{pmatrix}}$

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru ${\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ a ${\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí $x_{1}$, to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit $x_{2}$, a tento postup se opakuje až pro $x_{n}$. U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí $x_{n}$, to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí $x_{n-1}$, atd. až se dojde k $x_{1}$.

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice ${\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$ s dolní trojúhelníkovou maticí ${\boldsymbol {L}}$ s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

${\begin{matrix}l_{11}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\l_{21}x_{1}&+&l_{22}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\l_{n1}x_{1}&+&l_{n2}x_{2}&+&\cdots &+&l_{nn}x_{n}&=&b_{n}\\\end{matrix}}$

První rovnice $l_{11}x_{1}=b_{1}$ obsahuje jedinou neznámou $x_{1}$, a tak z ní lze přímo určit první složku řešení $x_{1}$. Druhá rovnice se týká jen neznámých $x_{1}$ a $x_{2}$, a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do $x_{1}$ dosadí hodnota získaná z první rovnice. Obecně, $j$-tá rovnice obsahuje pouze neznámé $x_{1},\dots ,x_{j}$, a proto z ní lze určit $x_{j}$ pomocí již dříve získaných hodnot neznámých $x_{1},\dots ,x_{j-1}$. Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{l_{11}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-l_{21}x_{1}}{l_{22}}},\dots \\x_{j}&={\frac {b_{j}-\sum \limits _{i=1}^{j-1}l_{ji}x_{i}}{l_{jj}}},\dots \\x_{n}&={\frac {b_{n}-\sum \limits _{i=1}^{n-1}l_{ni}x_{i}}{l_{nn}}}.\end{aligned}}$

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí ${\boldsymbol {U}}$ lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

• Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice.
• Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu.
• Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu.
• Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu.
• Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále.
• Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu $p_{\boldsymbol {A}}(x)=\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )$ matice ${\boldsymbol {A}}$. Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice ${\boldsymbol {A}}$ řádu $n$ je roven

$p_{\boldsymbol {A}}(x)=(a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots (a_{nn}-x)$,

což je polynom stupně $n$, jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice ${\boldsymbol {A}}$ (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že ${\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I}$ je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant $\det({\boldsymbol {A}}-x\mathbf {I} )$ je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě $a_{11}-x,a_{22}-x,\ldots ,a_{nn}-x$.

Algebraické vlastnosti

• Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru .
• Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu.
• Trojúhelníková matice řádu $n$ může mít nejvýše ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel $\mathbb {C}$:

• Gaussova eliminace provedená na regulární matrici ${\boldsymbol {A}}$ odpovídá výpočtu vhodné permutační matice ${\boldsymbol {P}}$ a LU rozkladu ${\boldsymbol {PA}}={\boldsymbol {LU}}$, kde ${\boldsymbol {L}}$ je dolní trojúhelníková matice s 1 na diagonále a ${\boldsymbol {U}}$ je horní trojúhelníková.
• QR rozklad ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {QR}}$ matice ${\boldsymbol {A}}$ na součin unitární matice ${\boldsymbol {Q}}$ a horní trojúhelníkové matrici ${\boldsymbol {R}}$ lze vypočítat mimo jiné pomocí Householderových transformací, Givensových rotací nebo Gramovy–Schmidtovy ortogonalizace .
• V Jordanově normální formě je matice podobnostně převedena na téměř diagonální trojúhelníkový tvar.
• Při Schurově rozkladu je daná matice vyjádřena coby matice unitárně podobná vhodné trojúhelníkové matici. Schurův rozklad lze získat např. pomocí QR algoritmu.

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Triangular matrix na anglické Wikipedii a Dreiecksmatrix na německé Wikipedii.

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• ZDENĚK, Dostál; VÍT, Vondrák. Lineární algebra [online]. Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská univerzita v Plzni, 2012-04-24 [cit. 2022-04-05]. Kapitola 7.2 Trojúhelníkové matice, s. 51. Dostupné online. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Autoritní data	GND: 4417093-2

Portály: Matematika