Diagonální matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V lineární algebře označuje pojem diagonální matice čtvercovou matici n×n, která má nenulové prvky pouze na hlavní diagonále. Někdy se tento termín používá i pro obdélníkové matice, ale v tomto článku toto zobecnění nebudeme uvažovat.

Příkladem diagonální matice je matice

\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & -3
\end{pmatrix}

Diagonální matice se někdy zapisuje jako diag(a1, …, an), kde ai odpovídá prvku matice aii. Matice v předchozím příkladu je tedy diag(1, 4, -3).

Každá jednotková matice a každá čtvercová nulová matice je diagonální maticí.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Každá diagonální matice je symetrická, dolní trojúhelníková a horní trojúhelníková.

Součet a součin dvou diagonálních matic dá opět diagonální matici. Pro součet platí

diag(a1, …, an) + diag(b1, …, bn) = diag(a1+b1, …, an+bn)

a pro součin

diag(a1, …, an) · diag(b1, …, bn) = diag(a1b1, …, anbn).

Pro každou diagonální matici D platí, že transponovaná matice DT = D.

Inverzní matice existuje, právě když jsou všechny prvky na diagonále nenulové. Pak platí

diag(a1, …, an)-1 = diag(a1-1, …, an-1).

Determinant diagonální matice je součin prvků na diagonále.

Vlastní čísla diagonální matice jsou právě prvky na diagonále.