Sčítání matic

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

V matematice je sčítání matic operace sčítání dvou matic sečtením odpovídajících prvků. Existují ale i další operace, které lze považovat za formu sčítání pro matice a to direktní součet a Kronekerův součet.

Součet po prvcích[editovat | editovat zdroj]

Standardní sčítaní matic je definováno pro 2 matice stejného rozměru. Součet dvou m × n (čteme "m krát n") matic A a B, zapsaný jako A + B je opět m × n matice vypočtena sečtením odpovídajících prvků:[1]

\begin{align}
\bold{A}+\bold{B} & = \begin{pmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} + 

\begin{pmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{pmatrix} \\

\end{align}\,\!

Například:


  \begin{pmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{pmatrix}
+
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{pmatrix}

Matice je možno i odečíst jednu od druhé, pokud jsou stejného typu. AB se vypočte odečtením korespondujících elementů A a B, a má stejné rozměry jako A a B. Například:


\begin{pmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{pmatrix}

Direktní součet[editovat | editovat zdroj]

Další operace, která se používá méně často, je přímý součet (zápis ⊕). Kronekerův součet se též značí ⊕; rozdíl by měl být zřejmý. Přímý součet jakékoli dvojice matic A rozměru m × n a B rozměru p × q je matice rozměru (m + p) × (n + q) definována jako [2]


  \bold{A} \oplus \bold{B} =
  \begin{pmatrix} \bold{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \bold{B} \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq}
  \end{pmatrix}

Například,


  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{pmatrix}
\oplus
  \begin{pmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{pmatrix}
=
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{pmatrix}

Přímý součet matic je speciální typ blokové matice, konkrétně přímý součet čtvercových matic je bloková diagonální matice.

Matice sousednosti sjednocení disjunktních grafů nebo multigrafů je přímý součet jejich matic přilehlosti. Každý element v přímém součtu dvou vektorových prostorů matic může být reprezentován jako přímý součet dvou matic.

Obecně přímý součet n matic je:


\bigoplus_{i=1}^{n} \bold{A}_{i} = {\rm diag}( \bold{A}_1, \bold{A}_2, \bold{A}_3 \cdots \bold{A}_n)=
\begin{pmatrix}
 \bold{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \boldsymbol{0} & \bold{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \bold{A}_n \\
\end{pmatrix}\,\!

kde nuly jsou bloky nul, tedy nulové matice.

Kronekerův součet[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Kronekerův součet.

Kronekerův součet se liší od přímého součtu, ale používá stejnou značku ⊕. Definuje se použitím Kronekerova součinu ⊗ a normálního maticového sčítání. Pokud A je n x n, B je m x m a \mathbf{I}_k označuje identickou matici k x k, pak Kronekerův součet matic je definován jako:

 \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} = \mathbf{A} \otimes \mathbf{I}_m + \mathbf{I}_n \otimes \mathbf{B}.

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. (2010) Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3. 
  2. Sčítání matic v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Matrix addition na anglické Wikipedii.

  • (2009) Linear Algebra, Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-154352-1. 

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Anglicky[editovat | editovat zdroj]

Česky[editovat | editovat zdroj]