Násobení skalárem

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Možná hledáte: skalární součin.

Násobení skalárem je v matematice jednou ze základních operací definujících vektorový prostor v lineární algebře[1][2][3] (nebo obecněji, modul v abstraktní algebře[4][5]). V intuitivním geometrickém kontextu násobení reálného vektoru kladným reálným číslem mění jeho velikost bez změny jeho směru. Samotný termín „skalár“ je odvozen z tohoto použití: skalár je to, co škáluje (mění velikost) vektorů. Výsledkem násobení násobení vektoru skalárem je vektor, na rozdíl od skalárního součinu dvou vektorů, jehož výsledkem je skalár.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Obecně jestliže K je těleso a V je vektorový prostor nad K, pak násobení skalárem je funkce z K × V do V. Výsledek aplikace této funkce na c z tělesa K a v z vektorového prostoru V označujeme cv.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Pro násobení skalárem platí následující vztahy (vektory jsou v polotučně):

  • Aditivita skalárů: (c + d)v = cv + dv;
  • Aditivita vektorů: c(v + w) = cv + cw;
  • Asociativita součinu skalárů s násobením skalárem: (cd)v = c(dv);
  • 1 je neutrální prvek: 1v = v;
  • Násobení nulou dává nulový vektor: 0v = 0;
  • Násobení −1 dává opačný vektor: (−1)v = −v.

Přitom + je sčítání buď v tělese anebo ve vektorovém prostoru; a 0 je neutrální prvek vůči sčítání v obou. Zapsání dvou symbolů za sebou znamená buď násobení skalárem nebo operaci násobení v tělese.

Interpretace[editovat | editovat zdroj]

Násobení skalárem může být považováno za externí binární operaci nebo za akci tělesa na vektorovém prostoru. Geometrickou interpretací násobení skalárem je zvětšíní nebo zmenšení vektoru o konstantní faktor.

Můžeme uvažovat speciální případ, kdy V=K; pak násobení skalárem je prostě násobením v tělese.

Když V je Kn, násobení skalárem je ekvivalentní s násobením každé komponenty skalárem a může být i takto definováno.

Stejný přístup lze použít, pokud K je komutativní okruh a V je modul nad K. K může dokonce být polookruh, ale pak neexistuje inverzní prvek pro sčítání. Jestliže K není komutativní, lze místo jedné operace „násobení skalárem“ definovat dvě operace – násobení skalárem zleva cv a násobení skalárem zprava vc.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Scalar multiplication na anglické Wikipedii.

  1. LAY, David C.. Linear Algebra and Its Applications. 3.. vyd. [s.l.] : Addison–Wesley, 2006. ISBN 0-321-28713-4.  
  2. STRANG, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications. 4.. vyd. [s.l.] : Brooks Cole, 2006. ISBN 0-03-010567-6.  
  3. AXLER, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2.. vyd. [s.l.] : Springer, 2002. ISBN 0-387-98258-2.  
  4. DUMMIT, David S.; FOOTE, Richard M.. Abstract Algebra. 3.. vyd. [s.l.] : John Wiley & Sons, 2004. ISBN 0-471-43334-9.  
  5. LANG, Serge. Algebra. [s.l.] : Springer, 2002. (Graduate Texts in Mathematics) ISBN 0-387-95385-X.