Geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Geometrie je jedna z matematických věd, která se původně zabývala vlastnostmi (tvar a velikost) a vzájemnými vztahy mezi geometrickými útvary (prostorových těles, ploch, bodů, přímek a rovin).

Slovo geometrie je řeckého původu a znamená zeměměřičství. Ve starověkém Egyptě a Babylonii byla totiž geometrie využívána k vyměřování pozemků a stavbě chrámů a pyramid pravidelných tvarů. Pozdější studium geometrických útvarů, kterým se zabýval např. Thales, vedlo ke vzniku geometrie jako matematického oboru. Geometrie bývá považována za jeden z prvních matematických oborů vůbec.

Základy geometrie jako matematického oboru položil Euklides, který se pokusil zachytit abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic a axiomů. Podařilo se mu tak založit geometrii, kterou označujeme jako euklidovskou geometrii. Euklidovu geometrii dělíme na rovinnou a prostorovou.

Později zavedl Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, tzn. geometrické problémy je možné řešit algebraickými metodami. To také umožnilo zobecnění geometrických úvah na N-rozměrné Eukleidovské prostory (i pro N>3).

Dalším vývoj geometrie probíhal ve dvou hlavních směrech. Prvým z těchto směrů bylo využití metod diferenciálního počtu k popisu geometrických útvarů. Tento přístup vedl zejména díky Gaussovi ke vzniku diferenciální geometrie a posléze ke koncepci Riemannovy geometrie, předložené Riemannem v r. 1854. Tuto linii vývoje pak ještě zobecnil zejména Elie Cartan. Ve fyzice nalezla tato linie geometrizace uplatnění zejména v podobě obecné teorie relativity.

Druhý hlavní směr vývoje vedl úsilím geometrů jako Desargues, Poncelet, Möbius či Cayley k vytvoření projektivní geometrie, která zcela abstrahuje od pojmu metriky. Tato zobecnění geometrie staví zejména na zachování incidenční struktury, a současně se při projektivních transformacích zachováná invariant zvaný dvojpoměr. Jak rozpoznal Felix Klein ve vlivném Erlangenském programu z r. 1872, mezi lineárními prostory právě projektivní geometrie disponuje nejširší grupou symetrií a proto poskytuje přirozený zobecňující rámec pro studium Eukleidovské, metrické či afinní geometrie, včetně tzv. neeukleidovských geometrií Bolyaie či Lobačevského i dalších. Ve fyzice tato grupově-teoretická linie geometrizace ovlivnila zejména kvantovou mechaniku a částicovou fyziku (např. standardní model ve fyzice elementárních částic).

Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V modernějším pojetí se geometrie zabývá vlastnostmi prostoru, různými algebraickými strukturami na topologických objektech (typicky na varietách).

Obsah

1 Geometrické útvary
- 1.1 Vzájemné polohy geometrických útvarů
- 1.2 Metrické vlastnosti geometrických útvarů
2 Geometrická zobrazení
3 Analytická geometrie
4 Modelování křivek
5 Související články

[editovat] Geometrické útvary

Geometrické útvary lze dělit podle různých vlastností:

Základní geometrické útvary (bod, přímka, rovina, prostor)
Lineární geometrické útvary (přímka, polopřímka, úsečka)
Rovinné geometrické útvary – obrazce (polorovina, mnohoúhelníky, kružnice, kruh, kuželosečky, křivky a útvary vymezené křivkami
Prostorové geometrické útvary – tělesa (hranoly (např. krychle, kvádr), válec, jehlan, kužel, koule, …)
Množiny všech bodů dané vlastnosti

[editovat] Vzájemné polohy geometrických útvarů

Podrobnější informace naleznete v článku Analytické vyjádření vzájemných poloh geometrických útvarů.

Vzájemná poloha dvou bodů (vzdálenost)
Vzájemná poloha bodu a přímky
Vzájemná poloha bodu a kružnice
Vzájemná poloha dvou přímek (rovnoběžky, různoběžky, mimoběžky, …)
Vzájemná poloha dvou kružnic (vnější dotyk, vnitřní dotyk, …)
Vzájemná poloha přímky a kružnice (tečna, sečna, …)
Vzájemná poloha dvou rovin

[editovat] Metrické vlastnosti geometrických útvarů

Metrické vlastnosti jsou určovány definicí míry daného geometrického útvaru. Mírou v geometrii nazýváme zobrazení množiny bodů, které tvoří určitý geometrický útvar, na množinu $\mathbf{R}_0^+$ . Označíme-li daný geometrický útvar jako $X$ , pak jeho míru lze zapsat jako $μ(X)$ .

Platí, že podobné geometrické útvary mají stejné míry. Pokud dva geometrické útvary $X$ a $Y$ nemají žádný společný (vnitřní) bod, pak platí $\mu(X\cup Y)=\mu(X)+\mu(Y)$ .

Jednotky jsou dány volbou geometrického útvaru, kterému přiřadíme jednotkovou velikost.

Základními mírami v geometrii jsou

Délka (délka úsečky, vzdálenost útvarů …)
- Obvod obrazce (obvod trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
Velikost úhlu,rovinný úhel a prostorový úhel
Obsah obrazce (obsah trojúhelníku, čtverce, kruhu, …)
- Povrch tělesa (povrch krychle, válce, koule, …)
Objem tělesa (objem krychle, válce, koule, …)

- Trigonometrie (goniometrické funkce, věta sinová, věta kosinová, …)

[editovat] Geometrická zobrazení

Podrobnější informace naleznete v článku Geometrické zobrazení.

Shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, …)
Podobná zobrazení (stejnolehlost, …)
Prostorová zobrazení (rovnoběžné promítání, axonometrie, perspektiva, …)

[editovat] Analytická geometrie

Podrobnější informace naleznete v článku Analytická geometrie.

Soustava souřadnic
Rovnice geometrického útvaru (rovnice přímky, roviny, kružnice, elipsy, paraboly, …)
Analytické vyjádření vzájemných poloh geometrických útvarů

[editovat] Modelování křivek

Pro více informací navštivte text věnovaný geometrickému modelování na projektu Wikibooks.

[editovat] Interpolační křivky

[editovat] Aproximační křivky

[editovat] Bézierovy křivky

[editovat] B–spline křivky

B–spline křivka

[editovat] Algoritmy nad křivkami

[editovat] Související články

Projekt Wikiknihy nabízí knihu na téma:

Geometrie