Akce grupy na množině

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupu (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť G\,\! je grupa a A\,\! neprázdná množina. Zobrazení \cdot : G \times A \rightarrow A\,\! nazveme akcí grupy G\,\! na množině A\,\! (také působením G\,\! na A\,\!) jestliže:

  1. g_1 \cdot (g_2 \cdot a) = (g_1 g_2) \cdot a\,\! pro všechna g_1, g_2 \in G,a \in A\,\!
  2. 1 \cdot a = a\,\! pro všechna a \in A\,\! (kde 1\,\! je neutrální prvek G\,\!)

Jinak řečeno prvek g_1 \in G\,\! působí na g_2 \cdot a \in A\,\! stejně, jako působí g_1 g_2 \in G\,\! na a \in A\,\!.

Reprezentace permutacemi[editovat | editovat zdroj]

Nechť G\,\! působí na A\,\! a pro pevně zvolené g \in G\,\! označme \sigma_g\,\! zobrazení \sigma_g : A \rightarrow A\,\! dané předpisem a \mapsto g \cdot a\,\!. Pak platí:

  1. pro libovolné g \in G\,\! je \sigma_g\,\! permutace na množině A\,\!,
  2. zobrazení \phi : G \rightarrow \mathbb{S}_A\,\! dané vztahem g \mapsto \sigma_g\,\!, je homomorfismus grup.

Zobrazení \phi\,\! se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy G\,\! na množině A\,\!.

Akce grupy G\,\! na A\,\! se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže g \cdot a = a \,\, \forall g \in G, a \in A\,\!, resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvku[editovat | editovat zdroj]

Jádro akce grupy G\,\! na množině A\,\! se nazývá množina J = \{g \in G | g \cdot a = a,\,\forall a \in A\}\,\! (přičemž tato množina je shodná s \ker \phi\,\!).

Je-li pevně zvolen prvek a \in A\,\!, pak množinu G_a = \{g \in G | g \cdot a = a \}\,\! nazýváme stabilizátor prvku a\,\!. Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky J = \bigcap_{a \in A} G_a\,\!).

Stabilizátor prvku a \in A\,\! tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupu této grupy.

Orbita prvku[editovat | editovat zdroj]

Množina \mathcal{O}_a = \{g \cdot a | g \in G\}\,\! se nazývá orbita prvku a\,\!.

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj. \forall a,b \in A \exists g \in G : a = g \cdot b\,\!).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že |\mathcal{O}_a|=|G/G_a|\,\!.

Tranzitivní akce a homogenní prostor[editovat | editovat zdroj]

Říkáme, že grupa G má na A tranzitivní akci, pokud pro každé a,b\in A existuje g\in G takové, že g\cdot a=b.

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné a a každé b\in A existuje g\in G takové, že g\cdot a=b a G má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má G na množině A tranzitivní akci, můžeme množinu A reprezentovat jako homogenní prostor

A\simeq G/G_a

kde G_a je stabilizátor jednoho prvku a\in A a G/G_a je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je g G_a\mapsto g\cdot a a je jednoznačná,neboť

  • Díky tranzitivní akci existuje pro každé a příslušné g
  • Pokud g_1\cdot a=g_2\cdot a tak g_2^{-1}g_1 a=a, tedy g_2^{-1}g_1\in G_a a g_1 G_a=g_2 G_a.

Zobrazení G/G_a\to A je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd G/G_a se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor E(n) dimenze n tedy můžeme reprezentovat jako

E(n)\simeq Euc(n)/O(n).

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]