Vektorový prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory.

Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace (sčítání vektorů, násobení skalárem) společně s některými omezeními (asociativita atd.) Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Vektorový prostor nad komutativním tělesem F (např. tělesem reálných čísel nebo komplexních čísel) je množina V společně se dvěma operacemi:

  • sčítání vektorů: V × VV značeno v + w, kde v, wV
  • násobení skalárem: F × VV značeno a v, kde aF ; vV.

splňující následující axiomy (pro každé a, bF a u, v, wV):

  1. V společně se sčítáním vektorů tvoří komutativní grupu
    1. Existuje neutrální prvek 0V tak, že pro všechna vV, v + 0 = v. Prvek 0 se nazývá nulový vektor.
    2. Pro všechna v ∈ V existuje opačný prvek (inverzní prvek) w ∈ V tak, že v + w = 0. Vektor w bývá také označován jako opačný vektor k vektoru v a značen w = -v.
    3. Sčítání vektorů je asociativní: u + (v + w) = (u + v) + w.
    4. Sčítání vektorů je komutativní: v + w = w + v.
  2. Násobení skalárem je ″asociativní″ (zdánlivě asociativní, viz * ): a(b v) = (ab)v.
  3. 1 v = v, kde 1 je jednotkový prvek tělesa F.
  4. Distributivita:
    1. a (v + w) = a v + a w.
    2. (a + b) v = a v + b v.

poznámka(*): Nejedná se o asociativitu, neboť používáme různé operace násobení. Na levé straně se dvakrát po sobě násobí vektor skalárem, zatímco vpravo máme násoben vektor součinem skalárů

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

  • Nulový vektor 0V je právě jeden.
  • a 0 = 0 pro všechna aF.
  • 0 v = 0 pro všechna vV kde 0 je neutrální prvek pro sčítání v F.
  • a v = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo v = 0.
  • Opačný prvek vektoru v pro sčítání vektorů je unikátní. Většinou se značí −v.
  • (−1)v = −v pro všechna vV.
  • (−a)v = a(−v) = −(av) pro všechna aF a vV.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru.
  • Každé těleso spolu s operací sčítání a násobení prvkem tělesa je vektorovým prostorem samo nad sebou.
  • Množina Rm×n všech reálých matic typu m×n s operací sčítání matic a násobení skalárem je vektorový prostor.
  • Obecně množina všech matic typu m×n nad tělesem T je vektorovým prostorem.
  • Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R obvykle nazýváme reálným vektorovým prostorem. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel C vytvořit komplexní vektorový prostor.
  • Množina všech polynomů s koeficienty v T tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z T vektorový prostor nad T.
  • Množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu \langle a,b \rangle, jestliže pro funkce f, g z této množiny jsou definovány operace (f+g)(x)=f(x)+g(x) a (r f)(x)=r f(x) pro xR a rR. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
  • Definujme pro přirozené číslo n na množině Tn všech uspořádaných n-tic prvků z množiny T binární operaci sčítání předpisem
    (a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)
    a operaci násobení prvků z Tn prvkem z tělesa T jako
    r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n).
    Potom takovou množinu Tn nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem dimenze n nad tělesem T (nebo n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem T).

Generátory vektorového prostoru[editovat | editovat zdroj]

Podmnožina M vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá množina generátorů prostoru V, jestliže je lineární obal této množiny roven celému prostoru V, tzn. \langle \mathbf{M} \rangle = V. Říká se také, že M generuje V.

Podmnožina M prostoru V generuje prostor V právě tehdy, když každý vektor z V je lineární kombinací vektorů z množiny M.

Platí, že pokud je \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} množina generátorů prostoru V a každý z vektorů v1,v2,…,vn je lineární kombinací vektorů u1,u2,…,un, pak také \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\} je množinou generátorů prostoru V.

Tzv. Steinitzova věta říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru V lineárně nezávislé vektory v1, v2, …, vm a další vektory u1, u2, …, un takové, že každý vektor vi lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u1, u2, …, un, pak m \leq n.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Vektorový prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)