Vektorový prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vektorový prostor (též lineární prostor, angl. vector space) je ústředním objektem studia lineární algebry, v jehož rámci jsou definovány všechny ostatní důležité pojmy této disciplíny. V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (angl. vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru. S konceptem vektorového prostoru se lze setkat v nejrůznějších odvětvích matematiky i fyziky. Tvoří základ, v rámci něhož lze elegantně popisovat a řešit jak úlohy numerické matematiky, tak třeba i úlohy chování fyzikálních systémů v klasické či kvantové mechanice.

Historie[editovat | editovat zdroj]

Vektorový prostor je poměrně mladý matematický pojem, který vznikl abstrakcí dosud známých matematických objektů jako byli matice, soustavy lineárních rovnic nebo vektory ve fyzice. Podobně jako u samotné lineární algebry lze jeho vznik klást do konce devatenáctého a počátku dvacátého století. Slovo vektor pak pochází z latinského vector znamenající nosič. Oproti skaláru se totiž vyznačuje navíc tím, že "nese" i směr.

První náznak pojmu vektorového prostoru lze najít v díle Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik od Hermanna Grassmanna z roku 1844 [1]. Jeho práce však zůstala téměř nepovšimnuta, protože Grassmann nebyl profesionální matematik a svoji teorii popisoval filozofickým způsobem, který byl pro ostatní matematiky těžko srozumitelný. Přitom to byl on, kdo jako první zavedl pojmy lineární kombinace, lineární nezávislosti, dimenze, lineární obal, báze a další. Navíc též dokázal tvrzení, která nyní známe pod názvy Steinitzova věta o výměně, první věta o dimenzi, nezávislost dimenze na volbě báze, vzorec pro transformaci souřadnic při přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru a jiné.

Axiomatickou definici vektorového prostoru pak jako první podává Giuseppe Peano ve svém díle Calcolo geometrico secundo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann, precedutto dalle operazioni della logica deduttiva z roku 1888. Vektorový prostor v dnešní podobě je poprvé definován v dizertační práci Stefana Banacha v roce 1920 a v moderních učebnicích se tento pojem poprvé objevuje v učebnici Modern Algebra od van der Waerdena z roku 1930. Více viz [1] a článek Lineární algebra.

Motivace[editovat | editovat zdroj]

Jako motivaci pro zavedení pojmu vektorového prostoru uvažujme dva případy matematických objektů – fyzikální vektory (coby šipky) a polynomy. Pro každý z těchto případů podáme jeho základní charakteristiku a pokusíme se najít vlastnosti, které mají oba tyto případy společné. To nás už přímo povede k definování matematické struktury, splňující jisté vlastnosti, kterou půjde použít jak k popisu fyzikálních vektorů, tak k popisu polynomů. Touto matematickou strukturou bude právě vektorový prostor.

Fyzikální vektory[editovat | editovat zdroj]

Obr. 1: Dva vektory alias šipky v rovině s vyznačeným působištěm alias pukem.
Obr. 2: Tytéž vektory jako v předchozím případě, nyní však již označené a usazené do souřadné soustavy.
Obr. 3: Dva vektory výše spolu s jejich výslednicí.

Jako první si představme fyzikální vektory, chápané jako šipky v rovině. Pro názornost mějme puk na ledové ploše a snažme se popsat jeho pohyb po ledě v závislosti na úderech hokejky dopadající na jeho strany s různou intenzitou a v různých směrech. Každý úder hokejky lze popsat velikostí síly, se kterou zasáhla puk, a směrem jejího působení. Úder můžeme tedy přirozeně vyjádřit jako šipku v rovině, jejíž délka odpovídá působící síle a její směr směru působící síly. Zajímá nás nyní, kam se puk posune, bude-li na něj v jeden okamžik působit více než jedna hokejka. V takovém případě se puk posune ve směru výslednice působících sil a jeho posunutí bude úměrné velikosti této výslednice. Výslednici sil přitom obdržíme složením všech "šipek", které v daný okamžik na puk působí. Pro konkrétnost uvažujme, že se nacházíme v situaci popsané obrázkem Obr. 1 vpravo, kde máme dvě působící síly. Abychom mohli s těmito šipkami lépe pracovat, zaveďme si na ledové ploše souřadnicovou soustavu a označme si šipky po řadě symboly \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2, jak je ukázáno na Obr. 2. Výslednice těchto dvou šipek pak vznikne jejich složením, označme si ji \scriptstyle \vec{x}_3, viz Obr. 3. Složením dvou šipek jsme tedy opět obdrželi nějakou šipku, která nyní popisuje výslednici působících sil popsaných šipkami \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 – výsledek naprosto zjevný, pro další diskuzi však klíčový. Pokud pohlédneme na souřadnice jednotlivých šipek v námi zavedené souřadnicové soustavě, dostáváme


\color{blue}{\vec{x}_1 = 
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0,5
\end{pmatrix}}
\color{black}{,}
\quad
\color{red}{\vec{x}_2 = 
\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}}
\color{black}{,}

kde jsou jednotlivé barvy zvoleny tak, aby byl zjevný vztah čísel k obrázkům vpravo. Pod souřadnicemi šipky jsou myšleny souřadnice bodu, ve kterém šipka "končí". Není třeba vypisovat souřadnice bodu, ve kterém šipka "začíná", protože všechny šipky, včetně výslednic a násobků, začínají v tomtéž bodě – puku (který má v naší souřadné soustavě souřadnice \scriptstyle \binom{0}{0}). Pokud se nyní podíváme na souřadnice výslednice sil \scriptstyle \vec{x}_3, vidíme, že horní složka má hodnotu 1 (x-ová souřadnice) a spodní (y-ová souřadnice) má hodnotu 1,5 (viz Obr. 3, jeden dílek na ose představuje hodnotu 0,5). Pro souřadnice vektorů tedy platí vztah


\color{blue}{\begin{pmatrix}
-1 \\ 0,5
\end{pmatrix}}
\color{black}{+}
\color{red}{\begin{pmatrix}
2 \\ 1
\end{pmatrix}}
\color{black}{=
\begin{pmatrix}
1 \\ 1,5
\end{pmatrix}}.

Pokud výše uvedenou rovnost přepíšeme do kompaktnějšího tvaru, máme \scriptstyle \vec{x}_1 + \vec{x}_2 = \vec{x}_3. Dá se ukázat, že tento vztah platí obecně pro jakoukoli volbu šipek \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 a jejich výslednici \scriptstyle \vec{x}_3. Vidíme tedy, že výslednici dvou působících sil \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 můžeme vyjádřit jako jejich součet \scriptstyle \vec{x}_1 + \vec{x}_2.

Dále je zřejmé, že pokud na puk udeříme dvakrát vyšší silou, tak odpovídající šipka bude dvakrát delší, ale zachová si svůj směr. Obecně tedy, mějme nějakou šipku \scriptstyle \vec{x}_1 odpovídající jisté síle. Pak \scriptstyle \alpha-krát vyšší síle bude odpovídat \scriptstyle \alpha-krát delší šipka, která bude mít stejný směr jako \scriptstyle \vec{x}_1.

Můžeme tedy šipky různě násobit číslem a vzájemně sčítat a opět dostaneme nějakou šipku. Zároveň je vidět, že je jedno jestli složím šipku \scriptstyle \vec{x}_1 se šipkou \scriptstyle \vec{x}_2, nebo naopak. Neboli

\vec{x}_1 + \vec{x}_2 = \vec{x}_2 + \vec{x}_1.

Této vlastnosti se říká komutativita. Mějme nyní tři šipky \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \vec{x}_3. Podobně jako v předchozím případě je jedno, jestli nejdříve složím šipku \scriptstyle \vec{x}_1 se šipkou \scriptstyle \vec{x}_2 a jejich výslednici složím se šipkou \scriptstyle \vec{x}_3, nebo jestli nejdříve složím šipku \scriptstyle \vec{x}_2 se šipkou \scriptstyle \vec{x}_3 a jejich výslednici se šipkou \scriptstyle \vec{x}_1. Neboli

(\vec{x}_1 + \vec{x}_2) + \vec{x}_3 = \vec{x}_1 + (\vec{x}_2 + \vec{x}_3).

Této vlastnosti se říká asociativita. Je také vidět, že pokud k jakémukoli vektoru \scriptstyle \vec{x}_1 přičtu vektor


\vec{0} = 
\begin{pmatrix}
0 \\ 0
\end{pmatrix},

tak dostanu opět vektor \scriptstyle \vec{x}_1. Vektoru \scriptstyle \vec{0} odpovídá "šipka" nulové délky a říká se mu nulový vektor. A konečně také vidíme, že když přesně proti sobě na puk působí dvě síly \scriptstyle \vec{x} a \scriptstyle \vec{y} stejné velikosti, tak se jejich účinek vyruší, tj. puk stojí na místě. Neboli jejich výslednice, tj. součet, je nulový vektor. Tedy \scriptstyle \vec{x} + \vec{y} = \vec{0}, neboli \scriptstyle \vec{y} = -\vec{x}. Máme-li nějaký vektor \scriptstyle \vec{x}, tak k němu vždy jak vidíme existuje jistý vektor \scriptstyle -\vec{x} takový, že jejich výslednice je nulový vektor, vektoru \scriptstyle -\vec{x} říkáme vektor opačný k vektoru \scriptstyle \vec{x}.

Shrňme si nyní, na co jsme zatím přišli:

  1. Šipky lze sčítat a násobit číslem. Součet dvou šipek je opět šipka. Podobně násobek šipky je opět šipka.
  2. Sčítání šipek je komutativní.
  3. Sčítání šipek je asociativní.
  4. "Šipku nulové délky", nulový vektor, můžu přičíst k libovolné jiné šipce, aniž bych tuto změnil.
  5. Ke každé šipce najdu šipku k ní opačnou, opačný vektor.

Podobnou diskuzi vztahu šipek a "fyzikálních" vektorů lze nalézt v oddíle Geometrická interpretace v článku lineární kombinace.

Polynomy jako vektory[editovat | editovat zdroj]

Když jsme nyní vypsali základní vlastnosti množiny šipek spolu s jejich sčítáním a násobením číslem, přesuňme svoji pozornost na polynomy. Neboli na funkce \scriptstyle p tvaru

p(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 .

Když sečteme dva polynomy \scriptstyle p a \scriptstyle q, tak dostaneme funkci

p(x) + q(x) = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0) + (b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_1 x + b_0) = (a_n + b_n) x^n + (a_{n-1} + b_{n-1}) x^{n-1} + \ldots + (a_1 + b_1) x + (a_0 + b_0),

což je ale opět polynom, jehož koeficienty jsou nyní rovny součtům koeficientů polynomu \scriptstyle p a polynomu \scriptstyle q. Tyto koeficienty jsou zjevně stejné bez ohledu na pořadí sčítání \scriptstyle p a \scriptstyle q, neboli

 p + q = q + p.

Platí tedy komutativita. Snadno by se ověřila i asociativita sčítání. Též je vidět, že funkce \scriptstyle \alpha p vzniklá vynásobením polynomu \scriptstyle p číslem \scriptstyle \alpha je opět polynom, který má nyní koeficienty rovné \scriptstyle \alpha a_i, kde \scriptstyle a_i jsou koeficienty polynomu \scriptstyle p. Dále je patrné, že nulová funkce, která každému bodu přiřazuje nulu, je polynom (jehož všechny koeficienty jsou nulové). Říkáme mu nulový polynom. Když k nulovému polynomu přičteme libovolný polynom, tak součet bude roven přičítanému polynomu. Konečně, mějme nějaký polynom \scriptstyle p. Když ho vynásobíme číslem -1, tak dostaneme polynom \scriptstyle -p, kterému říkáme opačný polynom. Platí, že

 (-p) + p = 0.

Součet polynomu a k němu opačného polynomu tedy dává nulový polynom. Opět si shrňme dosavadní zjištění:

  1. Součet dvou polynomů je opět polynom. Podobně násobek polynomu číslem je opět polynom.
  2. Sčítání polynomů je komutativní.
  3. Sčítání polynomů je asociativní.
  4. Když k nulovému polynomu přičtu libovolný polynom, tak bude součet roven přičítanému polynomu.
  5. Ke každému polynomu najdu polynom k němu opačný.

Společné vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Seznam vlastností šipek i seznam vlastností polynomů výše byly záměrně napsány v co nejshodnější podobě. Jak vidíme, i přes zjevnou rozdílnost mají šipky i polynomy mnoho vlastností totožných. Jde například o komutativitu či asociativitu sčítání nebo o existenci nulového prvku. Podobnosti mezi vlastnostmi různých matematických objektů, jako v případě těch dvou výše zmíněných, vedly matematiky k zavedení matematické struktury, která je určena právě těmito vlastnosti. Jedná se o množinu, kdy není specifikován konkrétní tvar jejích prvků, ale zajímají nás především jejich vzájemné vztahy. Nezáleží tedy moc na tom, zda uvažujeme šipky či polynomy, ale velkou roli hraje např. to, že oboje lze sčítat a nezáleží na pořadí sčítání.

Mějme nyní tedy množinu, kterou si označme \scriptstyle V a jejíž prvky budeme značit v analogii se šipkami jako \scriptstyle \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}, \ldots, aniž bychom nějak blíže věděli, co tyto prvky jsou. Nezajímá nás tedy, zda je \scriptstyle \vec{x} šipka či polynom. Po těchto prvcích však požadujeme, aby splňovaly následující vlastnosti:

  1. Součet dvou prvků je opět prvek \scriptstyle V. Podobně násobek prvku číslem leží opět ve \scriptstyle V. Jinými slovy, množina \scriptstyle V je uzavřená na operace sčítání a násobení číslem.
  2. Sčítání prvků je komutativní.
  3. Sčítání prvků je asociativní.
  4. Když k nulovému prvku přičtu libovolný prvek, tak bude součet roven přičítanému prvku.
  5. Ke každému prvku najdu prvek k němu opačný.

Dosud jsme uvažovali prvky z \scriptstyle V násobené číslem. Pojem čísla je ale pro matematiku příliš konkrétní a tak lze místo množiny čísel uvažovat obecnější množinu, tzv. těleso. Těleso samotné má pak také dodatečnou strukturu určenou požadavky, které se podobají těm, které klademe na prvky množiny \scriptstyle V. Označme si těleso písmenem \scriptstyle T. Konkrétně od něho požadujeme, aby pro libovolné dva prvky \scriptstyle \alpha, \beta tělesa \scriptstyle T platilo:

  1. Součet \scriptstyle \alpha + \beta je také prvek \scriptstyle T.
  2. Násobek \scriptstyle \alpha \cdot \beta je také prvek \scriptstyle T.
  3. Prvek opačný k \scriptstyle \alpha, tj. \scriptstyle -\alpha je také prvek \scriptstyle T.
  4. Pro každý nenulový prvek \scriptstyle \alpha je \scriptstyle \frac{1}{\alpha} také prvek \scriptstyle T.

Těleso je tedy množina vybavená operací sčítání a operací násobení. První dva požadavky výše vyjadřují, že je těleso pro tyto dvě operace uzavřené. Můžeme v něm navíc najít jak neutrální prvek vůči operaci sčítání, který označujeme 0, tak i neutrální prvek vůči operaci násobení, který označujeme 1. Výraz \scriptstyle \frac{1}{\alpha} ve čtvrtém bodě výše pak vyjadřuje inverzní prvek pro \scriptstyle \alpha vůči operaci násobení.

Dospěli jsme tak zatím k matematické struktuře sestávající z množiny \scriptstyle V, ke které je přidruženo těleso \scriptstyle T, přičemž součet prvků z \scriptstyle V a jejich násobek prvkem z \scriptstyle T leží opět ve \scriptstyle V a přitom jsou splněny jisté dodatečné podmínky. Když matematicky precizně přeformulujeme právě uvedené požadavky, dodáme pár požadavků dalších a celou věc trochu zobecníme, tak dospíváme k současné definici vektorového prostoru jak je podána v následujícím oddíle.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť jsou dány

  1. neprázdná množina \scriptstyle V, jejíž prvky nazýváme vektory,
  2. těleso \scriptstyle T (s operacemi sčítání + a násobení \scriptstyle \cdot),
  3. zobrazení \scriptstyle \oplus: \ V \times V \to V, jež nazýváme sčítání vektorů,
  4. zobrazení \scriptstyle \odot: \ T \times V \to V, jež nazýváme násobení vektorů (prvkem z tělesa).

Řekneme, že \scriptstyle V je vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T s vektorovými operacemi \scriptstyle \oplus, \odot, právě když platí tzv. axiomy vektorového prostoru. Těchto axiomů je osm a jejich znění je následující:

Axiomy vektorového prostoru
Č. Slovně Symbolicky
1 komutativita pro sčítání vektorů (\forall \vec{x} \in V)(\forall \vec{y} \in V)(\vec{x} \oplus \vec{y} = \vec{y} \oplus \vec{x})
2 asociativita pro sčítání vektorů (\forall \vec{x} \in V)(\forall \vec{y} \in V)(\forall \vec{z} \in V)((\vec{x} \oplus \vec{y}) \oplus \vec{z} = \vec{x} \oplus (\vec{y} \oplus \vec{z}))
3 existence nulového vektoru  (\exists \vec{0} \in V)(\forall \vec{x} \in V)(\vec{x} \oplus \vec{0} = \vec{x})
4 existence opačného vektoru  (\forall \vec{x} \in V)(\exists \vec{y} \in V)(\vec{x} \oplus \vec{y} = \vec{0})
5 asociativita pro násobení vektoru  (\forall \alpha \in T)(\forall \beta \in T)(\forall \vec{x} \in V)(\alpha \odot (\beta \odot \vec{x}) = (\alpha \cdot \beta) \odot \vec{x})
6 invariance vektoru při vynásobení jednotkovým prvkem tělesa  (\forall \vec{x} \in V)(1 \odot \vec{x} = \vec{x})
7 distributivita násobení vektoru vzhledem ke sčítání prvků tělesa (\forall \alpha \in T)(\forall \beta \in T)(\forall \vec{x} \in V)((\alpha + \beta) \odot \vec{x} = (\alpha \odot \vec{x}) \oplus (\beta \odot \vec{x}))
8 distributivita násobení vektoru vzhledem ke sčítání vektorů   (\forall \alpha \in T)(\forall \vec{x} \in V)(\forall \vec{y} \in V)(\alpha \odot (\vec{x} \oplus \vec{y}) = (\alpha \odot \vec{x}) \oplus (\alpha \odot \vec{y}))

Axiomy 1 až 4 vyjadřují, že množina \scriptstyle V tvoří vzhledem ke sčítání vektorů komutativní grupu, kde nulový vektor představuje neutrální prvek grupy a opačný vektor představuje inverzní prvek k danému prvku grupy alias vektoru. Z definice operací \scriptstyle \oplus a \scriptstyle \odot implicitně vyplývá, že uvažujeme pouze ty operace sčítání vektorů a násobení vektoru prvkem z tělesa, pro něž je množina \scriptstyle V uzavřená. Běžně se místo znaku \scriptstyle \oplus pro sčítání používá znaménko + a místo znaku \scriptstyle \odot pro násobení se užívá znaménka \scriptstyle \cdot. Zde byly tyto symboly použity, aby se odlišilo sčítání dvou vektorů a sčítání dvou prvků tělesa, resp. násobení vektoru prvkem tělesa a násobení dvou prvků tělesa. Z kontextu je ale vždy patrné, kterou operaci je nutno použít.

Zdaleka nejčastěji se uvažují číselná tělesa reálných či komplexních čísel. Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel \scriptstyle \mathbb{R} se nazývá reálný vektorový prostor, vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel \scriptstyle \mathbb{C} se pak jmenuje komplexní vektorový prostor. Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru. Dokonce z definice tělesa vyplývá, že i těleso samotné je spolu s operací sčítání a násobení prvkem z tělesa vektorovým prostorem samo nad sebou.

Pro značení vektorů se používají různé notace, nejčastěji se lze setkat buď s polotučným sázením symbolů pro vektory jako x, y, z, anebo se symboly vysázenými italikou majícími nad sebou šipku jako \scriptstyle \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}. Zde se budeme držet druhé jmenované konvence. Přísně vzato je z definice vektorový prostor uspořádaná čtveřice \scriptstyle (V,T, \oplus, \odot), obvykle se ale takový vektorový prostor značí prostě jako \scriptstyle V a buď se předpokládá, že čtenář ví, které těleso a operace jsou použity, nebo jsou tyto specifikovány vždy při definici množiny \scriptstyle V. V případě běžně používaných vektorových prostorů jako např. \scriptstyle \mathbb{R}^n jsou příslušné operace a dané těleso definovány v podstatě kanonicky a nemůže dojít k nejasnostem.

Stejně jako u každé jiné množiny, můžeme i v případě vektorového prostoru uvažovat jeho podmnožiny. Máme na mysli konkrétně podmnožiny množiny \scriptstyle V, kde \scriptstyle (V,T, \oplus, \odot) je daný vektorový prostor. Výsadní postavení mezi všemi podmnožinami mají pak ty z nich, které jsou sami o sobě vektorovými prostory. Tyto podmnožiny nazýváme podprostory daného vektorového prostoru. Více viz článek Vektorový podprostor.

Obecné vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

V následujícím uvažujeme vektorový prostor \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T. Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

  • Nulový vektor \scriptstyle \vec{0} \in V je právě jeden, tj.
 (\exists ! \vec{0} \in V)(\forall \vec{x} \in V)(\vec{x} + \vec{0} = \vec{x})
Důkaz: Z axiómů máme zajištěnu existenci přinejmenším jednoho nulového vektoru. Předpokládejme, že jich je víc a uvažujme dva nějaké nulové vektory \scriptstyle \vec{0}_1, \vec{0}_2, kdy \scriptstyle \vec{0}_1 \neq \vec{0}_2. Pak platí \scriptstyle \vec{0}_1 = \vec{0}_1 + \vec{0}_2 = \vec{0}_2 + \vec{0}_1 = \vec{0}_2, kde jsme po řadě využili axiomů 3, 1 a opět 3. Vidíme tedy, že \scriptstyle \vec{0}_1 = \vec{0}_2, což je spor.
  • Ke každému vektoru \scriptstyle \vec{x} \in V existuje právě jeden vektor opačný. Tento se obvykle značí \scriptstyle -\vec{x}. V matematickém zápise
 (\forall \vec{x} \in V)(\exists ! (-\vec{x}) \in V)(\vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0})
Důkaz: Opět máme z axiomů zajištěnu existenci alespoň jednoho opačného vektoru k danému vektoru \scriptstyle \vec{x}. Předpokládejme existenci alespoň dvou opačných navzájem různých vektorů \scriptstyle \vec{y}_1, \vec{y}_2. Pak platí \scriptstyle \vec{y}_1 = \vec{y}_1 + \vec{0} = \vec{y}_1 + (\vec{x} + \vec{y}_2) = (\vec{y}_1 + \vec{x}) + \vec{y}_2 = \vec{0} + \vec{y}_2 = \vec{y}_2, kde jsme použili 3., 4., 2. ,1. a opět 4., 1. a 3. axiomu. Máme tedy \scriptstyle \vec{y}_1 = \vec{y}_2, což je spor.
  • Pro každé dva vektory \scriptstyle \vec{a}, \vec{b} \in V má rovnice \scriptstyle \vec{a} = \vec{b} + \vec{x} právě jedno řešení \scriptstyle \vec{x} = -\vec{b} + \vec{a}, tj.
 (\forall \vec{a} \in V)(\forall \vec{b} \in V)(\forall \vec{x} \in V)(\vec{a} = \vec{b} + \vec{x} \quad \Rightarrow \quad \vec{x} = -\vec{b} + \vec{a})
Důkaz: Daný předpis pro \scriptstyle \vec{x} vypsaný výše zřejmě řeší danou rovnici, stačí dosadit a použít po řadě 2., 4., 1. a 3. axiom. Dokažme jednoznačnost řešení. Pro spor předpokládejme, že existují dvě řešení \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \scriptstyle \vec{x}_1 \neq \vec{x}_2, \scriptstyle \vec{a} = \vec{b} + \vec{x}_1 = \vec{b} + \vec{x}_2. K poslední rovnosti můžeme zleva přičíst opačný vektor k \scriptstyle \vec{b}, tj. dostaneme \scriptstyle (-\vec{b}) + (\vec{b} + \vec{x}_1) = (-\vec{b}) + (\vec{b} + \vec{x}_2), což je však podle 2., 1. a 4. axiomu ekvivalentní výrazu \scriptstyle \vec{x}_1 = \vec{x}_2. Dospěli jsme tedy ke sporu.
  • Libovolný násobek nulového vektoru je nulový vektor. Podobně, nulový násobek libovolného vektoru je nulový vektor. Neboli (0 je neutrální prvek pro sčítání v \scriptstyle T)
 (\forall \alpha \in T)(\alpha \cdot \vec{0} = \vec{0})
(\forall \vec{x} \in V)(0 \cdot \vec{x} = \vec{0})
Důkaz: Uvažujme nejprve \scriptstyle \alpha \neq 0 a dokazujme první vlastnost. Mějme libovolný vektor \scriptstyle \vec{x} a výraz \scriptstyle \vec{x} + \alpha \vec{0} = \alpha (\frac{1}{\alpha} \vec{x} + \vec{0}) = \alpha (\frac{1}{\alpha} \vec{x}) = 1 \vec{x} = \vec{x}. Vektor \scriptstyle \alpha \vec{0} se tedy сhová jako nulový vektor a z již dokázané jednoznačnosti nulového vektoru musí platit \scriptstyle \alpha \vec{0} = \vec{0}. Případ pro \scriptstyle \alpha = 0 je podpřípadem druhé vlastnosti, kterou nyní dokážeme. Mějme rovnici \scriptstyle \alpha \vec{x} + \vec{y} = \alpha \vec{x}, kde je naší neznámou vektor \scriptstyle \vec{y}. Vidíme, že rovnici vyhovuje volba \scriptstyle \vec{y} = \vec{0}. Když ale dosadíme \scriptstyle \vec{y} = 0 \vec{x}, tak máme \scriptstyle \alpha \vec{x} + 0 \vec{x} = \alpha \vec{x}, tj. \scriptstyle (\alpha + 0) \vec{x} = \alpha \vec{x}. Přitom levá strana je rovna straně pravé. Rovnost je tedy splněna i pro \scriptstyle \vec{y} = 0 \vec{x} a z jednoznačnosti řešení dokázané výše musí nutně \scriptstyle \vec{0} = 0 \vec{x}.
  • Vlastnost:
(\forall \alpha \in T)(\forall \vec{x} \in V)(\alpha \cdot \vec{x} = \vec{0} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = 0 \or \vec{x} = 0)
Důkaz: Implikace zprava doleva plyne z předchozího tvrzení. Implikaci zleva doprava dokažme sporem. Předpokládejme tedy, že \scriptstyle \alpha \vec{x} = \vec{0} a přitom \scriptstyle \alpha \neq 0 a současně \scriptstyle \vec{x} \neq \vec{0}. Obě strany rovnice můžu tedy vynásobit prvkem \scriptstyle \frac{1}{\alpha} dostávajíc \scriptstyle \vec{x} = \frac{1}{\alpha} \vec{0}. Pravá strana rovnosti je ale podle předchozího tvrzení rovna nule a tedy \scriptstyle \vec{x} = \vec{0}, což je spor.
  • Vlastnost:
(\forall \alpha \in T)(\forall \vec{x} \in V)((-\alpha) \cdot \vec{x} = - (\alpha \cdot \vec{x}) = \alpha \cdot (-\vec{x}))
Důkaz: Uvažujme rovnici \scriptstyle \alpha \vec{x} + \vec{y} = \vec{0}, jejíž řešení je zjevně \scriptstyle \vec{y} = -(\alpha \vec{x}). Současně ale \scriptstyle \alpha \vec{x} + (-\alpha) \vec{x} = (\alpha + (-\alpha)) \vec{x} = 0 \vec{x} = \vec{0} a \scriptstyle (-\alpha) \vec{x} je tedy též řešením. Navíc \scriptstyle \alpha \vec{x} + \alpha (-\vec{x}) = \alpha (\vec{x} + (-\vec{x})) = \alpha \vec{0} = \vec{0} a \scriptstyle \alpha (-\vec{x}) je tedy též řešením. Z již výše dokázané jednoznačnosti řešení rovnice tedy plyne \scriptstyle -(\alpha \vec{x}) = (-\alpha) \vec{x} = \alpha (-\vec{x}).
  • Opačný vektor k danému vektoru lze získat tak, že ho vynásobíme prvkem z tělesa, který je opačný k jednotkovému prvku. Neboli
(\forall \vec{x} \in V)((-\vec{x}) = -1 \cdot \vec{x})
Důkaz: Plyne z předchozího tvrzení položením \scriptstyle \alpha = 1.

Vektorové operace s množinami[editovat | editovat zdroj]

Kromě aritmetických operací definovaných nad samotnými vektory a prvky tělesa můžeme též uvažovat obdobné operace nad celými množinami vektorů potažmo prvků tělesa. Zavedení těchto operací umožňuje mimo jiné kompaktnější zápis některých vztahů mezi množinami vektorů a dává tak vyniknout jejich vzájemným souvislostem.

Mějme vektorový prostor \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T. Dále uvažujme dvě neprázdné podmnožiny \scriptstyle A a \scriptstyle B vektorového prostoru \scriptstyle V. Pro tyto můžeme definovat jejich součet následujícím způsobem:

 A+B \equiv \{ \vec{x} \in V| (\exists \vec{a} \in A)(\exists \vec{b} \in B)(\vec{x} = \vec{a}+\vec{b})\} = \{ \vec{a}+\vec{b}| \vec{a} \in A, \vec{b} \in B \}.

Součet dvou podmnožin vektorového prostoru nazýváme direktní součet, právě když lze každý vektor \scriptstyle \vec{x} z množiny \scriptstyle A+B vyjádřit ve tvaru \scriptstyle \vec{x} = \vec{a} + \vec{b} právě jedním způsobem, kde \scriptstyle \vec{a} \in A a \scriptstyle \vec{b} \in B. Direktní součet množin \scriptstyle A a \scriptstyle B značíme \scriptstyle A \oplus B. Neboli

 A \oplus B \equiv \{ \vec{x} \in V| (\exists ! \vec{a} \in A)(\exists ! \vec{b} \in B)(\vec{x} = \vec{a}+\vec{b})\}.

Uvažujeme-li ještě neprázdnou podmnožinu \scriptstyle S tělesa \scriptstyle T, tak jako násobek množiny \scriptstyle S a \scriptstyle A označujeme množinu

 S \cdot A \equiv \{ \vec{x} \in V| (\exists \alpha \in S)(\exists \vec{a} \in A)(\vec{x} = \alpha \vec{a})\} = \{ \alpha \vec{a}| \alpha \in S, \vec{a} \in A\}.

Běžně se pro zjednodušení zápisu používají následující konvence (\scriptstyle \vec{a} \in V):

  • \scriptstyle \{ -1 \} \cdot A \equiv -A,
  • \scriptstyle \{ \vec{a} \} + A \equiv \vec{a} + A,
  • \scriptstyle A + (-B) \equiv A-B,
  • \scriptstyle \{ \alpha \} \cdot A \equiv \alpha A.

Pro operace sčítání a násobení nad podmnožinami vektorového prostoru, resp. tělesa, lze snadno odvodit následující vlastnosti (\scriptstyle S_1,S_2 \subset T):

  • operace sčítání množin je komutativní a asociativní,
  • \scriptstyle A + \vec{0} = A,
  • \scriptstyle \{ 1 \} \cdot A = A,
  • \scriptstyle S_1 \cdot (S_2 \cdot A) = (S_1 \cdot S_2) \cdot A,
  • \scriptstyle S \cdot (A + B) \subset S \cdot A + S \cdot B,
  • \scriptstyle (S_1 + S_2) \cdot A \subset S_1 \cdot A + S_2 \cdot A,
  • platí zřejmě \scriptstyle \vec{0} \in A - A, ale obecně rozhodně neplatí, že by rozdíl \scriptstyle A-A byla množina obsahující jen nulový vektor; pokud je \scriptstyle A vektorový podprostor prostoru \scriptstyle V, tak dokonce platí rovnost \scriptstyle A-A=A.

Tam, kde je výše místo rovnosti vyznačená jen inkluze, obecně rovnost neplatí. Ukažme si vzhledem k inkluzi ještě jedno další tvrzení, jehož důkaz je triviální:

  • Buď \scriptstyle V vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T a \scriptstyle A_1, B_1, \scriptstyle A, B jeho neprázdné podmnožiny splňující vztah \scriptstyle A_1 \subset A a \scriptstyle B_1 \subset B. Buďte dále \scriptstyle S_1, S neprázdné podmnožiny tělesa \scriptstyle T splňující \scriptstyle S_1 \subset S. Pak platí
 S_1 \cdot A_1 \subset S \cdot A \quad \mathrm{a} \quad A_1 + B_1 \subset A + B.

V souvislosti s direktním součtem dvou vektorových podprostorů \scriptstyle A, B je velmi užitečné si uvézt následující tvrzení:

  • Součet \scriptstyle A + B je direktním součtem, tj. \scriptstyle A \oplus B, právě když v průniku podprostorů \scriptstyle A a \scriptstyle B leží právě jen nulový vektor. To jest
 A + B = A \oplus B \quad \Leftrightarrow \quad A \cap B =  \{ \vec{0} \}.

Pro důkaz viz oddíl Rovnosti a inkluze v článku Vektorový podprostor.

Základní pojmy[editovat | editovat zdroj]

Uveďme si nejprve několik pojmů, které se úzce vážou k vektorům a jejich množinám. Tyto pojmy nám pak pomohou lépe pochopit strukturu vektorového prostoru a umožní i snazší zacházení s vektory.

Lineární kombinace[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární kombinace.

Nejzákladnější věc, kterou můžeme s vektory udělat, je sečíst je nebo je vynásobit prvkem z tělesa. Když budeme mít \scriptstyle k vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_k, z nichž každý vynásobíme prvkem z tělesa (prvky \scriptstyle \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k) a nakonec je všechny sečteme, tak dostaneme vektor

 \alpha_1 \vec{x}_1 + \alpha_2 \vec{x}_2 + \ldots + \alpha_k \vec{x}_k = \sum_{i=1}^k \alpha_i \vec{x}_i.

Tento vektor nazýváme lineární kombinace vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_k.

Lineární nezávislost[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární nezávislost.

Pojem lineární nezávislosti zachycuje intuitivní fakt, že některé vektory si jsou podobnější než jiné. Máme-li například dvě šipky stejného směru, ale různé délky, pak dokážeme jednu šipku vyjádřit jako násobek druhé šipky. Šipky jsou tedy v jistém smyslu na sobě závislé. Budeme-li ale mít dvě šipky různých směrů, pak jednu nedokážeme vhodným násobkem převést na šipku druhou. Obě šipky jsou tedy na sobě nezávislé. Obecněji, pokud máme \scriptstyle k šipek a přitom \scriptstyle k-tou šipku jsme schopni vyjádřit jako lineární kombinaci předchozích \scriptstyle k-1 šipek, pak říkáme, že jsou tyto šipky alias vektory lineárně závislé. Pokud nejsme schopni žádnou ze šipek vyjádřit jako lineární kombinaci šipek ostatních, pak říkáme, že jsou tyto šipky lineárně nezávislé.

Dimenze[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Dimenze vektorového prostoru.

Vraťme se na chvíli k oddílu Motivace výše na případ šipek v rovině a na polynomy. Abychom mohli šipky vhodně popisovat, zavedli jsme si v rovině souřadnicovou soustavu. Každé šipce jsme tedy schopni jednoznačně přiřadit dvojici čísel – její \scriptstyle x-ovou a \scriptstyle y-ovou souřadnici v dané souřadnicové soustavě. Vidíme tedy, že nám k plnému určení šipky v rovině stačí dvě čísla. Zkoumejme nyní případ polynomů. Označme si množinu všech polynomů jako \scriptstyle P. Víme, že obecný tvar polynomu vypadá následovně

p(x)= a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 ,

kde \scriptstyle n je nějaké přirozené číslo vyjadřující stupeň polynomu. Pokud nenaložíme omezení na velikost tohoto čísla, tak může nabývat libovolně velké hodnoty. Máme-li tedy množinu všech polynomů \scriptstyle P, tak ať nás napadne jakkoli velké \scriptstyle n, tak určitě v této množině nalezneme polynom, jehož stupeň je právě \scriptstyle n. Každý polynom je popsán svými koeficienty, pokud může být ale \scriptstyle n libovolně velké, může být libovolně velký i počet koeficientů polynomu, který "náhodně vytáhneme" z množiny \scriptstyle P. Protože dopředu nevíme, jaký polynom "vytáhneme", musíme uvažovat nejhorší možný případ, tj. když je koeficientů nekonečně mnoho. Pro popis libovolného polynomu z množiny \scriptstyle P je tedy nutno nekonečně mnoho čísel. To je v protikladu k případu šipek v rovině, k jejichž plnému určení stačila čísla dvě. O prostoru šipek pak říkáme, že má dimenzi dva, o prostoru všech polynomů \scriptstyle P pak, že jeho dimenze je nekonečná. Získali jsme tak nejvýraznější charakteristiku vektorových prostorů – buď mají konečnou dimenzi, anebo nekonečnou.

Pojem dimenze lze formalizovat následovně: pokud ve vektorovém prostoru existuje \scriptstyle k vektorů, které jsou lineárně nezávislé, a přitom každý soubor \scriptstyle k+1 vektorů už je lineárně závislý, tak má daný vektorový prostor dimenzi rovnou \scriptstyle k. Pokud pro každé \scriptstyle k najdu ve vektorovém prostoru lineárně nezávislý soubor \scriptstyle k vektorů, pak je daný vektorový prostor nekonečné dimenze.

Báze[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Báze (algebra).

Pokud má vektorový prostor dimenzi \scriptstyle n, tak v něm nalezneme soubor \scriptstyle n lineárně nezávislých vektorů. Přitom všechny vektory v daném vektorovém prostoru jsme schopní vyjádřit jako jistou lineární kombinaci těchto \scriptstyle n vektorů. Tyto proto nazýváme báze daného vektorového prostoru. Posledně jmenovaná vlastnost plyne z definice dimenze vektorového prostoru. Kdyby totiž existoval vektor, který by nešlo vyjádřit jako lineární kombinaci výše zmíněných \scriptstyle n vektorů, tak bychom obdrželi soubor \scriptstyle n+1 vektorů, který je lineárně nezávislý. To je ale ve sporu s tím, že je dimenze prostoru rovna \scriptstyle n.

Vektorový podprostor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Vektorový podprostor.

Jak již bylo řečeno výše, podprostor vektorového prostoru je taková jeho podmnožina, která je sama o sobě vektorovým prostorem.

Lineární obal[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární obal.

Jedná se o speciální případ podprostoru. Mějme \scriptstyle k vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_k a uvažujme všechny jejich možné lineární kombinace. Pak množinu všech těchto lineárních kombinací nazýváme lineárním obalem vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_k. Že se skutečně jedná o podprostor, není těžké dokázat.

Příklady vektorových prostorů[editovat | editovat zdroj]

Uveďme si nyní příklady nejčastěji používaných vektorových prostorů. V numerické matematice nejčastěji používanými vektorovými prostory jsou ty konečnědimenzionální, které jsou navíc definované nad číselnými tělesy. Velkou výhodou prostorů konečné dimenze je to, že v nich lze snadno zavést bázi. Každý vektor tak lze popsat pomocí jeho souřadnic v této bázi. Souřadnice přitom tvoří n-tice čísel. Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru se tak stačí omezit na studium prostoru n-tic čísel, jehož vlastnosti si přiblížíme v následujícím oddíle.

Aritmetické vektory[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Aritmetický vektor.

Mějme těleso \scriptstyle T a jisté přirozené číslo \scriptstyle n. Uvažujme dále kartézský součin \scriptstyle T \times \ldots \times T = T^n, tj. prostor uspořádaných n-tic prvků z tělesa \scriptstyle T. Na tomto prostoru si definujme operaci sčítání a operaci násobení prvkem z tělesa následovně: Nechť \scriptstyle \vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n) a \scriptstyle \vec{y} = (y_1, y_2, \ldots, y_n) jsou dvě uspořádané \scriptstyle n-tice, jejich součet \scriptstyle \vec{x} + \vec{y} je pak definován jako

 \vec{x} + \vec{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n),

tedy jako jiná uspořádaná \scriptstyle n-tice, jejíž složky jsou rovny součtům složek dvou předešlých uspořádaných \scriptstyle n-tic. Nechť dále je \scriptstyle \alpha prvek tělesa, násobek \scriptstyle \alpha \vec{x} pak definujeme jako

 \alpha \vec{x} = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n).

Výsledkem je tedy opět uspořádaná \scriptstyle n-tice.

Množina všech uspořádaných \scriptstyle n-tic s tělesem \scriptstyle T a s výše definovanými operacemi sčítání a násobení je vektorový prostor (což lze snadno dokázat z definice vektorového prostoru výše). Nazýváme ho aritmetickým vektorovým prostorem dimenze \scriptstyle n nad tělesem \scriptstyle T (nebo \scriptstyle n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem \scriptstyle T). Jeho prvky pak nazýváme aritmetické vektory. Protože je tento typ vektorů používán velmi často, tak se obvykle přívlastek aritmetický vynechává a hovoří se pouze o vektorech. Občas se lze setkat i s frází: vektorový prostor \scriptstyle T^n s přirozeně definovanými aritmetickými operacemi či vektorový prostor \scriptstyle T^n s přirozeně definovanými operacemi sčítání a násobení. V takovém případě se myslí právě výše zavedený prostor, kde se dva vektory sčítají a násobí číslem po složkách. Můžeme totiž definovat i jiné operace sčítání a násobení číslem, při kterých by prostor uspořádaných \scriptstyle n-tic též tvořil vektorový prostor. Pak bychom mu už ale neříkali aritmetický vektorový prostor.

Prakticky vždy se za těleso bere množina reálných či komplexních čísel, dostáváme tedy prostory \scriptstyle \mathbb{R}^n či \scriptstyle \mathbb{C}^n. Prvky těchto prostorů se obvykle značí jako sloupce


\vec{x} = 
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix},

kde \scriptstyle n udává počet složek. Takto zapisovaným \scriptstyle n-ticím říkáme sloupcové vektory. Lze se ale setkat i s vektory psanými do řádku


\vec{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n),

které nazýváme řádkové vektory. Pro práci se sloupcovými vektory viz Příklad 1 v článku Lineární kombinace, Příklad 1 v článku Lineární nezávislost či Příklad 1 a Příklad 2 v článku Lineární obal. Pokud pracujeme pouze se samotnými aritmetickými vektory, tak je jedno, zda používáme řádkový či sloupcový zápis. Rozdíl ale začne být patrný, budeme-li chtít těmito vektory násobit matici. Více viz články Sloupcový vektor a Řádkový vektor. Prostor uspořádaných n-tic má dimenzi rovnou n. Jednotlivé složky obecného n-složkového aritmetického vektoru jsou totiž navzájem nezávislé a k určení každého vektoru v daném vektorovém prostoru je tedy třeba právě n čísel.

Jak bylo ukázáno v Motivaci, prostor šipek v rovině odpovídá prostoru dvousložkových aritmetických vektorů. Přesněji řečeno, námi rozebíraný případ je případ aritmetického vektorového prostoru \scriptstyle \mathbb{R}^2 definovaného nad tělesem reálných čísel \scriptstyle \mathbb{R} a s přirozeně zavedenými aritmetickými operacemi. Prostor šipek ve trojrozměrném prostoru by odpovídal množině \scriptstyle \mathbb{R}^3. Analogicky pak prostor šipek v \scriptstyle k-rozměrném prostoru odpovídá množině \scriptstyle \mathbb{R}^k nad tělesem \scriptstyle \mathbb{R} s přirozeně definovanými operacemi sčítání a násobení.

Matice[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Matice.

V předchozím oddílu jsme zkoumali prostor uspořádaných n-tic čísel, tedy prvků množiny \scriptstyle T^n. Podívejme se nyní na lehce obecnější množinu \scriptstyle T^{n, m} \equiv T^{n \times m}, která vznikne jako kartézský součin n krát m množin, z nichž každá je rovna tělesu \scriptstyle T. Jedná se tedy prakticky o množinu uspořádaných \scriptstyle k-tic, kde \scriptstyle k = n \cdot m. Oproti aritmetickým vektorům ale uděláme jednu věc navíc. Jednotlivé složky prvku z \scriptstyle T^{n, m} totiž seřadíme do obdélníku o rozměrech n krát m, jak je uvedeno níže

 \mathbb{A} \in T^{n,m} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{A} = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{12} & \ldots & a_{nm}
\end{pmatrix}.

Takovýmto objektům se říká matice. Je obvyklé označovat matice velkými tučnými či konturovými písmeny, jak je vyznačeno výše. Mohli jsme ale stejně tak místo \scriptstyle \mathbb{A} psát \scriptstyle \vec{x}, jedná se pouze o značení. Máme tedy množinu \scriptstyle T^{n,m}, těleso \scriptstyle T. Zbývá nám tedy definovat operaci sčítání a operaci násobení. Obě definujeme stejně jako v případě aritmetických vektorů, tzn.


\mathbb{A} + \mathbb{B} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{12} & \ldots & a_{nm}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1m} \\
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n1} & b_{12} & \ldots & b_{nm}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \ldots & a_{1m} + b_{1m} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \ldots & a_{2m} + b_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} + b_{n1} & a_{12} + b_{12} & \ldots & a_{nm} + b_{nm}
\end{pmatrix},
\qquad
\alpha \mathbb{A} =
\begin{pmatrix}
\alpha a_{11} & \alpha a_{12} & \ldots & \alpha a_{1m} \\
\alpha a_{21} & \alpha a_{22} & \ldots & \alpha a_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha a_{n1} & \alpha a_{12} & \ldots & \alpha a_{nm}
\end{pmatrix}.

Tento způsob sčítání, resp. násobení, se označuje jako sčítání, resp. násobení po složkách. Jedná se o klasický způsob zavedení těchto operací, kterým tak občas říkáme "přirozeně definované aritmetické operace". S takto definovanými operacemi lze snadno ukázat, že množina \scriptstyle T^{n,m} s tělesem \scriptstyle T tvoří vektorový prostor. Opět se nejčastěji za \scriptstyle T bere množina reálných či komplexních čísel.

To, že jsme jednotlivé složky vektoru alias matice uspořádali do obdélníku ještě nic neznamená, stále s nimi totiž pracujeme jako s aritmetickými vektory. Rozdíl nastává teprve v tom, že pro matice můžeme definovat i jejich vzájemné násobení. Můžeme tedy násobit spolu dva vektory (matice), v obecném případě můžeme pouze vektor násobit prvkem z tělesa (číslem). Možnost násobit mezi sebou matice je ale mimo rámec definice vektorového prostoru a není pro jeho zavedení nutná. Čtenáře proto pro podrobnosti odkážeme na článek Matice. Analogicky jako v případě aritmetických vektorů by se ukázalo, že dimenze prostoru \scriptstyle T^{n,m} je \scriptstyle n \cdot m.

Lineární operátory[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lineární operátor.

Dosud jsme se zabývali vektorovými prostory \scriptstyle (V, T, \oplus, \odot). Uvažujme nyní zobrazení množiny \scriptstyle V na sebe. Jinými slovy, uvažujme zobrazení \scriptstyle L: V \to V, které vezme vektor z \scriptstyle V a vrátí obecně nějaký jiný vektor z \scriptstyle V. Na vlastnosti tohoto zobrazení \scriptstyle L naklademe dvě podmínky:

  1. (\forall \vec{x} \in V)(\forall \vec{y} \in V)(L(\vec{x} + \vec{y}) = L(\vec{x}) + L(\vec{y})),
  2. (\forall \vec{x} \in V)(\forall \alpha \in T)(L(\alpha \vec{x}) = \alpha	L(\vec{x})).

První podmínku lze vyjádřit slovy "obraz součtu je součet obrazů" a matematicky se nazývá aditivita. Druhou podmínku pak můžeme popsat jako "obraz násobku je násobek obrazu" a matematicky se jí říká homogenita. Zobrazení splňujícímu výše uvedené podmínky se říká lineární operátor. Nechť je nyní vektorový prostor \scriptstyle V konečné dimenze, můžeme pro konkrétnost brát aritmetický vektorový prostor dimenze \scriptstyle n. Pak lineární operátor \scriptstyle L působící na tomto prostoru bere aritmetické vektory a vrací jiné aritmetické vektory, přičemž splňuje vlastnost

 L(\alpha \vec{x} + \vec{y}) = L(\alpha \vec{x}) + L(\vec{y}) = \alpha L(\vec{x}) + L(\vec{y}).

Uvažujme nějaké dva lineární operátory \scriptstyle A, B působící na \scriptstyle V. Podobně jako v případě běžných funkcí bychom i nyní chtěli tyto dva lineární operátory umět sečíst. Chtěli bychom si tedy zavést, co to přesně znamená, když operátor \scriptstyle A sečteme s operátorem \scriptstyle B. Jak by mnohého napadlo, definujeme si součet dvou lineárních operátorů následovně

 (A + B)(\vec{x}) = A(\vec{x}) + B(\vec{x}),

kde \scriptstyle \vec{x} \in V je libovolný vektor z prostoru \scriptstyle V. Na levé straně poslední rovnosti vystupuje jediný lineární operátor, který jsme si označili jako \scriptstyle A + B a nazýváme ho součet lineárních operátorů \scriptstyle A a \scriptstyle B. Výrazem výše jsme tak definovali hodnotu tohoto lineárního operátoru pomocí hodnot operátorů \scriptstyle A a \scriptstyle B. Podobně si definujme i násobek lineárního operátoru prvkem z tělesa jako

 (\alpha A)(\vec{x}) = \alpha A(\vec{x}),

kde opět \scriptstyle \vec{x} \in V je libovolný vektor z prostoru \scriptstyle V a na levé straně rovnosti vystupuje operátor, který jsme si označili jako \scriptstyle \alpha A. Jeho hodnotu pro každý vektor \scriptstyle \vec{x} jsme pak definovali výrazem na pravé straně rovnosti. Znovu zdůrazněme, že nyní nesčítáme vektory a nenásobíme vektory z \scriptstyle V, ale samotné lineární operátory. Označme množinu všech lineárních operátorů působících na prostoru \scriptstyle V jako \scriptstyle \mathcal{L}(V). O této množině lze ukázat, že spolu s tělesem \scriptstyle T a právě zavedenými operacemi sčítání a násobení tvoří vektorový prostor. Máme tedy vektorový prostor lineárních operátorů \scriptstyle \mathcal{L}(V), z nichž každý působí na dalším vektorovém prostoru, prostoru \scriptstyle V(!) Lineární operátory jsou navíc jen speciálním případem obecnějšího druhu zobrazení, které nazýváme lineární zobrazení. Ta mají stejné vlastnosti jako lineární operátory až na to, že místo toho, aby vraceli své hodnoty do vektorového prostoru \scriptstyle V, tak je vrací do ještě dalšího vektorového prostoru, označme si ho \scriptstyle W. Lineární zobrazení je tedy zobrazení z vektorového prostoru \scriptstyle V do vektorového prostoru \scriptstyle W, které splňuje podmínku aditivity a homogenity (viz výše). I tato zobrazení můžeme sčítat a násobit prvkem z tělesa. Podobně jako pro lineární operátory by se i u těchto zobrazení dalo ukázat, že tvoří vektorový prostor. Jedná se o vektorový prostor zobrazení, která berou vektory z jednoho vektorového prostoru \scriptstyle V a vrací hodnoty do jiného vektorového prostoru \scriptstyle W.

Dimenze prostoru všech lineárních operátorů \scriptstyle \mathcal{L}(V) závisí na dimenzi vektorového prostoru \scriptstyle V, na kterém tyto operátory působí. Pokud je dimenze \scriptstyle V nekonečná, pak je nekonečná i dimenze prostoru \scriptstyle \mathcal{L}(V). Pokud je dimenze prostoru \scriptstyle V konečná a rovná jistému přirozenému číslu \scriptstyle n, pak je dimenze prostoru \scriptstyle \mathcal{L}(V) taky konečná a je rovna \scriptstyle n^2. Máme-li totiž vektor \scriptstyle \vec{x} z vektorového prostoru \scriptstyle V dimenze \scriptstyle n, tak jsme tento vektor schopni vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze. Označme si tyto vektory báze jako \scriptstyle (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n), pak

 \vec{x} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i,

kde \scriptstyle \alpha_i jsou souřadnice vektoru \scriptstyle \vec{x} ve zvolené bázi. Když zapůsobíme na \scriptstyle \vec{x} lineárním operátorem \scriptstyle L, tak z definice vlastností tohoto operátoru plyne

 L(\vec{x}) = L \big(\sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{e}_i \big) = \sum_{i=1}^n \alpha_i L(\vec{e}_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{l}_i,

kde jsme označili \scriptstyle \vec{l}_i = L(e_i). Vektory \scriptstyle \vec{l}_i ale zase leží ve \scriptstyle V, můžeme je tedy vyjádřit v bázi \scriptstyle (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n)

 \vec{l}_i = \sum_{j=1}^n \beta_{ij} \vec{e}_j

pro každé \scriptstyle i \in \{ 1, \ldots, n\}. Celkově tak můžeme psát

 L(\vec{x}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \beta_{ij} \vec{e}_j.

Koeficienty \scriptstyle \beta_{ij} popisují působení lineárního operátoru \scriptstyle L na vektory z \scriptstyle V. Těchto koeficientů je zjevně dohromady \scriptstyle n^2. Máme tedy \scriptstyle n^2 čísel, pomocí nichž můžeme popsat libovolný operátor působící na \scriptstyle V a dimenze prostoru \scriptstyle \mathcal{L}(V) je tedy rovna tomuto číslu.

Posloupnosti[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Posloupnost.

Jistým zobecněním aritmetických vektorů na nekonečnou dimenzi jsou posloupnosti prvků z tělesa. Místo uspořádaných n-tic nyní bereme posloupnosti, které mají složek nekonečně mnoho. Operace sčítání a násobení prvkem z tělesa můžeme zavést podobně jako pro aritmetické vektory. Podobně bychom i ověřili, že množina všech posloupností prvků daného tělesa tvoří vektorový prostor. Nulovým vektorem by byla posloupnost nul, opačný vektorem k dané posloupnosti by byla posloupnost opačných prvků atd. Více nás ale zajímají posloupnosti, které konvergují. Aby tyto posloupnosti vůbec tvořily vektorový prostor, tak ale nejprve musíme zjistit, zda součet konvergentních posloupností je opět konvergentní posloupnost a podobně pro násobek. Omezíme-li se nyní na těleso reálných čísel a využijeme vlastností limity

 \lim_{k \to \infty} (a_k + b_k) = \lim_{k \to \infty} (a_k) + \lim_{k \to \infty} (b_k), \quad \lim_{k \to \infty} (\alpha a_k) = \alpha \lim_{k \to \infty} (a_k).

vidíme, že součet dvou konvergentních posloupností \scriptstyle (a_k), (b_k) je konvergentní posloupnost a totéž platí i pro \scriptstyle \alpha \in \mathbb{R} násobek konvergentní posloupnosti. Množina reálných konvergentních posloupností je tedy uzavřená na součet svých prvků a na násobení svých prvků číslem. Tato množina tvoří podprostor vektorového prostoru všech posloupností reálných čísel. Viz též Příklad 3 v článku Vektorový podprostor. Ač jsou kvůli konvergenci na prvky posloupnosti nakladena jistá omezení, má prostor konvergentních posloupností nekonečnou dimenzi. Jedná se tedy o nekonečnědimezionální podprostor prostoru všech posloupností.

Spojité funkce[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Spojitá funkce.

Uvažujme nyní množinu všech spojitých reálných funkcí jedné reálné proměnné. K ní si vezměme těleso reálných čísel a definujme si operace sčítání dvou funkcí a násobení funkce číslem bodově: pro libovolné dvě funkce \scriptstyle f, g a číslo \scriptstyle \alpha \in \mathbb{R} mějme

 (f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (\alpha f)(x) = \alpha f(x),

kde \scriptstyle x probíhá reálnou osu. V matematické analýze se dokazuje, že součet dvou spojitých funkcí je opět spojitá funkce. Podobně násobek spojité funkce je spojitá funkce. Množina všech spojitých reálných funkcí reálné proměnné je tedy uzavřená na sčítání funkcí a násobení funkcí číslem, což je nutný předpoklad k tomu, aby mohla být vektorovým prostorem. Ověřením axiomů vektorového prostoru se dá skutečně dokázat, že tato množina tvoří vektorový prostor. Tento prostor přitom představuje podprostor v prostoru všech reálných funkcí reálné proměnné, viz Příklad 2 v článku Vektorový podprostor. Lze též dokázat, že vektorový prostor uvažovaných spojitých funkcí je nekonečné dimenze.

Polynomy[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Polynom.

V Motivaci jsme použili prostor všech polynomů (všech číselných polynomů jedné reálné proměnné), abychom se abstrakcí jeho vlastností dobrali pojmu vektorový prostor. Není těžké ověřit, že tato množina skutečně splňuje všechny axiomy vektorového prostoru, kde součet a násobek polynomů je definován stejně jako pro všechny ostatní spojité funkce, viz předchozí příklad. Dále, v oddíle Dimenze výše bylo naznačeno, že vektorový prostor všech polynomů je nekonečněrozměrný, značíme ho \scriptstyle \mathcal{P}. Můžeme v něm ale najít jistou podmnožinu, která bude tvořit konečněrozměrný vektorový podprostor. Máme na mysli konkrétně množinu všech polynomů, jejichž stupeň je menší nebo roven jistému zadanému přirozenému číslu n. Je snadné si rozmyslet, že součtem polynomů, jejichž stupeň je menší než n opět dostanu polynom se stupněm nepřevyšujícím n. Podobně pro násobek polynomu číslem. Označme si množinu těchto polynomů jako \scriptstyle \mathcal{P}_{n+1}. Do této množiny zahrnujeme i nulový polynom, jehož stupeň se obvykle nedefinuje. Protože je polynom stupně n popsán n+1 koeficienty (jeden koeficient u každé mocniny nezávisle proměnné plus absolutní člen, u něhož žádná mocnina není), je dimenze prostoru \scriptstyle \mathcal{P}_{n+1} rovna n+1.

Nekonečné řady[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článcích Nekonečná řada a lp prostor (řady).

lp prostory

Lp prostory[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Lp prostor.

Normované vektorové prostory[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Normovaný lineární prostor.

Metrický prostor

Eukleidův prostor

Topologický vektorový prostor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Topologický vektorový prostor.

Vektorové prostory nad konečným tělesem[editovat | editovat zdroj]

Zdaleka nejčastěji používanými vektorovými prostory jsou ty definované nad tělesem reálných či komplexních čísel. Lze však uvažovat i jiná než tato tělesa, která ani nemusí mít nekonečnou mohutnost. Zvláštním případem vektorového prostoru je vektorový prostor definovaný nad konečným tělesem.

Aplikace[editovat | editovat zdroj]

Použití ve fyzice[editovat | editovat zdroj]

Již před zavedením pojmu vektorového prostoru se objevil koncept vektoru ve fyzice, kde se s jeho pomocí popisuje působení sil, momentů sil a dalších veličin, pro jejichž určení je důležitá nejen jejich velikost, ale i směr působení. Vektor samotný pak obvykle vyjadřujeme jako šipku, jejíž směr udává směr působení a její délka velikost působící veličiny. Více se o tomto tématu zmiňuje článek Vektor.

Jistým zobecněním vektoru je pojem tenzoru. Ten lze vyjádřit pomocí dvourozměrného lineárního objektu – matice. Příkladem může být např. tenzor momentu setrvačnosti, tenzor elektromagnetického pole atd. S tenzory se lze setkat kromě mechaniky např. i v obecné teorii relativity.

S dalším příkladem využití vektorového prostoru se můžeme hojně setkat v kvantové mechanice, kde se s jeho pomocí popisuje stav částice či jiného fyzikálního systému. V této souvislosti velkého významu nabývají tzv. Lp prostory integrabilních funkcí. Fyzikální stav systému lze popsat jako komplexní funkci, kterou lze opět chápat jako vektor. Fyzikální veličiny jsou pak v souladu s axiomy kvantové mechaniky vyjádřeny jako lineární operátory působící na těchto vektorech.

Značná obliba lineárních objektů ve fyzice vyvěrá z faktu, že k popisu přírodních procesů se dosti často používají rovnice, které jsou obtížně řešitelné. Pokud se namísto s přesným analytickým řešením spokojíme s alespoň přibližným řešením (často nám kvůli obtížnosti úlohy ani nic jiného nezbývá), tak nejjednodušším možným způsobem je předpokládat, že řešením je lineární objekt. Ten dosadíme do rovnice popisující přírodní proces a snažíme se najít takový tvar lineárního objektu, aby byla vzniklá odchylka od přesného řešení minimální. Tato metoda nalezení přibližného řešení funguje překvapivě často. Lineární objekty mají tu výhodu, že se s nimi snadno pracuje a je pro ně vybudována rozsáhlá matematická teorie. V kvantové mechanice se dokonce lineární struktura fyzikálního světa rovnou předpokládá a je ukotvena v axiomech kvantové mechaniky.

Použití v matematice[editovat | editovat zdroj]

Kromě fyziky zaujímá pojem vektorového prostoru či obecněji lineární algebry jako celku nezastupitelné místo třeba v oblasti numerické matematiky či informatiky. Lineární algebra poskytuje rámec, ve kterém je možno různé výpočetní problémy formulovat elegantním a přehledným způsobem. Zejména teorie matic nalézá v numerické matematice široké uplatnění. Koncept vektorového prostoru je možno nalézt i v teoretičtějších partiích matematiky. Příkladem za všechny může být tečný prostor zavedený na fibrovaném prostoru, což je struktura studovaná odvětvím diferenciální geometrie.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. a b BALKOVÁ, Ľubomíra. Lineární algebra 1. Praha : Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2013. ISBN 978-80-01-05346-1.   – skripta FJFI ČVUT

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha : Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.   – skripta FJFI ČVUT
  • BALKOVÁ, Ľubomíra. Lineární algebra 1. Praha : Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2013. ISBN 978-80-01-05346-1.   – skripta FJFI ČVUT
  • BLANK, Jiří; EXNER, Pavel; HAVLÍČEK, Miloslav. Lineární operátory v kvantové fyzice. Praha : Karolinum, 1993. ISBN 80-7066-586-6.