Vektorový prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory.

Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace (sčítání vektorů, násobení skalárem) společně s některými omezeními (asociativita atd.) Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Vektorový prostor nad komutativním tělesem F (např. tělesem reálných čísel nebo komplexních čísel) je množina V společně se dvěma operacemi:

  • sčítání vektorů: V × VV značeno v + w, kde v, wV
  • násobení skalárem: F × VV značeno a v, kde aF ; vV.

splňující následující axiomy (pro každé a, bF a u, v, wV):

  1. V společně se sčítáním vektorů tvoří komutativní grupu
    1. Existuje neutrální prvek 0V tak, že pro všechna vV, v + 0 = v. Prvek 0 se nazývá nulový vektor.
    2. Pro všechna v ∈ V existuje opačný prvek (inverzní prvek) w ∈ V tak, že v + w = 0. Vektor w bývá také označován jako opačný vektor k vektoru v a značen w = -v.
    3. Sčítání vektorů je asociativní: u + (v + w) = (u + v) + w.
    4. Sčítání vektorů je komutativní: v + w = w + v.
  2. Násobení skalárem je ″asociativní″ (zdánlivě asociativní, viz * ): a(b v) = (ab)v.
  3. 1 v = v, kde 1 je jednotkový prvek tělesa F.
  4. Distributivita:
    1. a (v + w) = a v + a w.
    2. (a + b) v = a v + b v.

poznámka(*): Nejedná se o asociativitu, neboť používáme různé operace násobení. Na levé straně se dvakrát po sobě násobí vektor skalárem, zatímco vpravo máme násoben vektor součinem skalárů

Základní vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

  • Nulový vektor 0V je právě jeden.
  • a 0 = 0 pro všechna aF.
  • 0 v = 0 pro všechna vV kde 0 je neutrální prvek pro sčítání v F.
  • a v = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo v = 0.
  • Opačný prvek vektoru v pro sčítání vektorů je unikátní. Většinou se značí −v.
  • (−1)v = −v pro všechna vV.
  • (−a)v = a(−v) = −(av) pro všechna aF a vV.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

  • Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru.
  • Každé těleso spolu s operací sčítání a násobení prvkem tělesa je vektorovým prostorem samo nad sebou.
  • Množina Rm×n všech reálých matic typu m×n s operací sčítání matic a násobení skalárem je vektorový prostor.
  • Obecně množina všech matic typu m×n nad tělesem T je vektorovým prostorem.
  • Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R obvykle nazýváme reálným vektorovým prostorem. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel C vytvořit komplexní vektorový prostor.
  • Množina všech polynomů s koeficienty v T tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z T vektorový prostor nad T.
  • Množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu \langle a,b \rangle, jestliže pro funkce f, g z této množiny jsou definovány operace (f+g)(x)=f(x)+g(x) a (r f)(x)=r f(x) pro xR a rR. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
  • Definujme pro přirozené číslo n na množině Tn všech uspořádaných n-tic prvků z množiny T binární operaci sčítání předpisem
    (a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)
    a operaci násobení prvků z Tn prvkem z tělesa T jako
    r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n).
    Potom takovou množinu Tn nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem dimenze n nad tělesem T (nebo n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem T).

Generátory vektorového prostoru[editovat | editovat zdroj]

Podmnožina M vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá množina generátorů prostoru V, jestliže je lineární obal této množiny roven celému prostoru V, tzn. \langle \mathbf{M} \rangle = V. Říká se také, že M generuje V.

Podmnožina M prostoru V generuje prostor V právě tehdy, když každý vektor z V je lineární kombinací vektorů z množiny M.

Platí, že pokud je \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\} množina generátorů prostoru V a každý z vektorů v1,v2,…,vn je lineární kombinací vektorů u1,u2,…,un, pak také \{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\} je množinou generátorů prostoru V.

Tzv. Steinitzova věta říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru V lineárně nezávislé vektory v1, v2, …, vm a další vektory u1, u2, …, un takové, že každý vektor vi lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u1, u2, …, un, pak m \leq n.

Vektorové operace s množinami[editovat | editovat zdroj]

Mějme vektorový prostor \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T. Dále uvažujme dvě neprázdné podmnožiny \scriptstyle A a \scriptstyle B vektorového prostoru \scriptstyle V. Pro tyto můžeme definovat jejich součet následujícím způsobem:

 A+B \equiv \{ \vec{x} \in V| (\exists \vec{a} \in A)(\exists \vec{b} \in B)(\vec{x} = \vec{a}+\vec{b})\} = \{ \vec{a}+\vec{b}| \vec{a} \in A, \vec{b} \in B \}.

Součet dvou podmnožin vektorového prostoru nazýváme direktní součet, právě když lze každý vektor \scriptstyle \vec{x} z množiny \scriptstyle A+B vyjádřit ve tvau \scriptstyle \vec{x} = \vec{a} + \vec{b} právě jedním způsobem, kde \scriptstyle \vec{a} \in A a \scriptstyle \vec{b} \in B. Direktní součet množin \scriptstyle A a \scriptstyle B značíme \scriptstyle A \oplus B.

Uvažujeme-li ještě neprázdnou podmnožinu \scriptstyle S tělesa \scriptstyle T, tak jako násobek množiny \scriptstyle S a \scriptstyle A označujeme množinu

 S \cdot A \equiv \{ \vec{x} \in V| (\exists \alpha \in S)(\exists \vec{a} \in A)(\vec{x} = \alpha \vec{a})\} = \{ \alpha \vec{a}| \alpha \in S, \vec{a} \in A\}.

Běžně se pro zjednoduššení zápisu používají následující konvence (\scriptstyle \vec{a} \in V):

  • \scriptstyle \{ -1 \} \cdot A \equiv -A,
  • \scriptstyle \{ \vec{a} \} + A \equiv \vec{a} + A,
  • \scriptstyle A + (-B) \equiv A-B,
  • \scriptstyle \{ \alpha \} \cdot A \equiv \alpha A.

Pro operace sčítání a násobení nad podmnožinami vektorového prostoru, resp. tělesa, lze snadno odvodit následující vlastnosti (\scriptstyle S_1,S_2 \subset T):

  • operace sčítání množin je komutativní a asociativní,
  • \scriptstyle A + \vec{0} = A,
  • \scriptstyle \{ 1 \} \cdot A = A,
  • \scriptstyle S_1 \cdot (S_2 \cdot A) = (S_1 \cdot S_2) \cdot A,
  • \scriptstyle S \cdot (A + B) \subset S \cdot A + S \cdot B,
  • \scriptstyle (S_1 + S_2) \cdot A \subset S_1 \cdot A + S_2 \cdot A,
  • platí zřejmě \scriptstyle \vec{0} \in A - A, ale obecně rozhodně neplatí, že by rozdíl \scriptstyle A-A byla množina obsahující jen nulový vektor, pokud je \scriptstyle A vektorový podprostor prostoru \scriptstyle V, tak dokonce platí rovnost \scriptstyle A-A=A.

Tam, kde je výše místo rovnosti vyznačená jen inkluze, obecně rovnost neplatí. Ukažme si vzhledem k inkluzi ještě jedno další tvrzení, jehož důkaz je triviální:

  • Buď \scriptstyle V vektorový prostor nad tělesem \scriptstyle T a \scriptstyle A_1, B_1, \scriptstyle A, B jeho neprázdné podmnožiny splňující vztah \scriptstyle A_1 \subset A a \scriptstyle B_1 \subset B. Buďte dále \scriptstyle S_1, S neprázdné podmnožiny tělesa \scriptstyle T splňující \scriptstyle S_1 \subset S. Pak platí
 S_1 \cdot A_1 \subset S \cdot A \quad \mathrm{a} \quad A_1 + B_1 \subset A + B.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Vektorový prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)