Zobrazení (matematika)

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny jednoznačně prvky obecně jiné množiny.

Definice zobrazení

$f: \mathrm{X} \rightarrow \mathrm{Y}$. Žlutý ovál uvnitř $\mathrm{Y}$ je obor hodnot.

Zobrazení $f$ se definuje

$f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$,

kde $\mathcal{A}$ a $\mathcal{B}$ jsou množiny. První množině se říká definiční obor, značí se často $\mathcal{D}_f$ nebo $\mathrm{dom}(f)\,\!$. Jednoznačnost zobrazení je důležitá a znamená, že každý prvek vzoru se zobrazí na právě jeden prvek v obrazu. Pro druhou množinu neexistuje český název, v angličtině se nazývá codomain. Podmnožina množiny $\mathcal{B}$ všech prvků, na něž se zobrazí alespoň jeden prvek z $\mathcal{A}$, se nazývá obor hodnot a značí se $\mathcal{R}_f$ nebo $\mathcal{H}_f$.

V teorii množin se zobrazení definuje jako relace R splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

$(\forall x \in \mathrm{dom}(R)) ((\exists y)(\langle x,y \rangle \in R)\ \and\ \forall( y_{1},y_{2})((\langle x,y_{1}\rangle \in R\ \and\ \langle x,y_{2} \rangle \in R)\implies (y_{1}=y_{2})) )$

Pokud je relace R zobrazení, píšeme místo $\langle x,y \rangle \in R$ častěji $\ R(x)=y$. Skutečnost, že se prvek $x$ množiny $\mathcal{A}$ zobrazí na prvek $y$ množiny $\mathcal{B}$, zapisujeme

$y = f(x)\,\!$

Vzor a obraz množiny

Obraz množiny $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ je množina $\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{B}$, na kterou se zobrazí $\mathcal{X}$, a značíme ji

$\mathcal{Y} = f(\mathcal{X})$

Speciálním případem obrazu je obraz celého definičního oboru, kterému se říká obor hodnot

$\mathcal{R}_f = f(\mathcal{D}_f)$

Vzor množiny $\mathcal{Y}$ je množina $\mathcal{X} \subseteq \mathcal{A}$ obsahující všechny prvky, které se do množiny $\mathcal{Y}$ zobrazí, a značíme ji

$\mathcal{X} = f^{-1}(\mathcal{Y})$

Množina všech vzorů je tedy definičním oborem, množina všech obrazů je oborem hodnot.

Typy zobrazení

Zde jsou uvedeny nejdůležitější typy zobrazení:

• Prosté zobrazení (injektivní zobrazení) - různým vzorům přiřazuje různé obrazy.
• Zobrazení na (surjektivní zobrazení) - zobrazuje definiční obor na celou cílovou množinu.
• Vzájemně jednoznačné zobrazení (bijekce) - prosté zobrazení, které je na (ke každému vzoru existuje právě jeden obraz).
• Spojité zobrazení - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
• Totožnost Identita - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
• Inverzní zobrazení - Je-li $f: A \rightarrow B$ zobrazení, pak inverzní zobrazení je $f^{-1}: B \rightarrow A$ takové, že $\scriptstyle f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b$

Dále následuje přehled několika příkladů zobrazení ze specializovaných oborů matematiky.

• Lineární zobrazení - platí pro něj $L(\alpha x + \beta y)=\alpha L(x) + \beta L(y)$, kde $\alpha$ a $\beta$ jsou prvky daného tělesa a $x$ a $y$ jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
• Operátor - funkci přiřazuje funkci.
• Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy
• Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklad zobrazení

Příklady (popis v článku)

Mějme množiny $\mathcal{A} = \{1, 2, 3, 4\}$ a $\mathcal{B} = \{a, b, c, d\}$. Můžeme například definovat zobrazení $f: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ jako

• $1 \rightarrow a$
• $2 \rightarrow c$
• $3 \rightarrow d$
• $4 \rightarrow c$

Oborem hodnot $\mathcal{R}_f = f(\mathcal{A})$ je tedy množina $\{a, c, d\}$. Vzorem množiny $\{c\}$ je množina $\{2,4\}$. Jeden prvek v $\mathcal{B}$ tedy může mít více než jeden vzor v $\mathcal{A}$. Ale každý prvek $\mathcal{A}$ se zobrazí na právě jeden prvek v $\mathcal{B}$.

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů $A \rightarrow B$.

• Na a) je příklad kdy se nejedná o zobrazení.
• Na b) je příklad prostého zobrazení množiny $A$ do množiny $B$.
• Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení $A$ na $B$.
• Na d) je zobrazení, které není prosté.

Víceznačné zobrazení

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymoron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

$\mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

$\mathcal{A} \rightarrow 2^\mathcal{B}$^[zdroj?]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

$y = \pm \sqrt{ x }$

Související články

• Binární relace
• Skládání zobrazení