Operátor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o matematickém pojmu. Další významy jsou uvedeny v článku Operátor (rozcestník).

Operátorem \hat A nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.

\hat A f = g,

kde f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}. Působením operátoru \hat A na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor \hat A, zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor obvykle značíme stříškou, např. \hat H, \hat p, apod.

Prvek f \in \mathbf{X} nazýváme vzorem (originálem), prvek g \in \mathbf{Y} obrazem.

Množina všech g \in \mathbf{Y}, které přísluší všem f \in \mathbf{X}, tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru \hat A. Obvykle se značí \mathrm{Rng}(\hat A). Pokud operátor není definován pro všechna f \in \mathbf{X}, pak množinu těch f \in X pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.

Funkcionál[editovat | editovat zdroj]

Pokud je \mathbf{Y} množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor \hat A nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.

Vybrané druhy operátorů[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor[editovat | editovat zdroj]

Lineární operátor \hat A je takový operátor, pro který platí

\hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i),

kde f_i jsou libovolné funkce a c_i jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru \hat A je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty c_1, c_2 a libovolné funkce f_1, f_2, g_1, g_2 takové, že g_1 = \hat A f_1 a g_2 = \hat A f_2, pak platí

\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2

Antilineární operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí

\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i,

kde f_i jsou libovolné funkce a c_i^* jsou koeficienty komplexně sdružené k c_i.

Operátor identity[editovat | editovat zdroj]

Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) \hat I, pro který platí

\hat I f = f

Působením operátoru identity \hat I tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro dva operátory \hat A, \hat B z X do Y platí \hat A f = \hat B f pro každé f \in \mathbf{X}, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.

Spojitý operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor \hat A se nazývá spojitý v bodě f_0 \in \mathbf{X}, jestliže pro každou posloupnost prvků \{f_n\} z \mathbf{X}, pro kterou v prostoru \mathbf{X} platí f_n \to f_0, platí také \hat A f_n \to \hat A f_0, tzn. g_n \to g_0, v prostoru \mathbf{Y}.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě f_1 \in \mathbf{X}, je spojitý v každém bodě f \in \mathbf{X}.

Omezený operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor \hat A nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové \mu > 0 (nezávislé na f), že pro každé f \in \mathbf{X} platí

{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X},

kde {\|f\|}_\mathbf{X} je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} je norma prvku \hat A f v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel \mu operátoru \hat A představuje tzv. normu operátoru \|\hat A\|, tzn.

\|\hat A\| = \inf \mu

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

\|\hat A\|  = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Sdružený operátor.
Podrobnější informace naleznete v článku Hermitovský operátor.

Operátor \hat A označíme jako symetrický, jestliže platí

\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.

Operátor \hat A označíme jako antihermiteovský, je-li operátor \mathrm{i} \hat A hermiteovský.

K operátoru \hat A existuje sdružený operátor {\hat A}^+, který splňuje vztah

\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle

neboli

\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*

Platí vztahy

\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|
{({\hat A}^+)}^+ = \hat A
{(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+
{(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+
{(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

{\hat A}^+ = \hat A

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor \hat A je pozitivní, když pro každé |u\rangle platí

\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0

Operátor označujeme jako normální, když platí

[\hat A,{\hat A}^+] = 0,

kde [,] označují komutátor.

Inverzní operátor[editovat | editovat zdroj]

Operátor {\hat A}^{-1} nazveme inverzním operátorem k \hat A, pokud platí

\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I,

kde \hat I představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

{(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}
{({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+

Unitární operátor[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace naleznete v článku Unitární operátor.

Operátor \hat A označíme jako unitární, pokud platí

{\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}

neboli

{\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I,

kde \hat I je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor \hat A platí

\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle

Jestliže operátor \hat M splňuje vztah

\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle,

pak operátor \hat M označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah {\hat M}^+ \hat M = \hat I, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být \hat M {\hat M}^+ \ne \hat I.

Projekční operátor[editovat | editovat zdroj]

Omezený operátor \hat E označíme jako projekční, splňuje-li podmínky

\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2

Je-li \hat E projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

{\hat E}^\prime = \hat I - \hat E,

kde \hat I představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I
\hat E {\hat E}^\prime = 0

Je-li |\psi_k\rangle vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na |\psi_k\rangle lze vyjádřit jako

\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|

Jestliže množina vektorů \{|\psi_k\rangle\} tvoří ortonormální bázi podprostoru H_1, pak projekční operátor do H_1 \subset H vyjádříme jako

\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|

Pokud je H_1 = H, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.

\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory[editovat | editovat zdroj]

Součtem dvou operátorů \hat A, \hat B získáme operátor \hat C = \hat A + \hat B, pro který platí

\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u

Operátor \hat C označíme jako součin operátorů \hat A a \hat B, tzn. \hat C= \hat A \hat B, pokud pro každé u platí

\hat C u = \hat A (\hat B u)

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. {\hat A}^2 = \hat A \hat A.

Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory \hat A, \hat B neplatí \hat A \hat B = \hat B \hat A. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů \hat A, \hat B, zavádíme tzv. komutátor operátorů

[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A

Dva nekomutativní operátory \hat A, \hat B splňují pro některé u vztah

[\hat A,\hat B] \ne 0

Dva komutativní operátory \hat A, \hat B splňují pro libovolné u vztah

[\hat A,\hat B] = 0

Jsou-li lineární hermiteovské operátory \hat A, \hat B komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory \hat A, \hat B komutují, tzn. [\hat A,\hat B]=0, pak pro libovolné funkce f, g platí

[f(\hat A),g(\hat B)] = 0

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A

Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:

[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]
[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]
[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}
[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B
\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}
\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}
\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C
\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]

Platí také tzv. Jacobiho identita

[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0

Příklad[editovat | editovat zdroj]

  • Příkladem lineárního operátoru může být operátor \hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
  • Nelineárním operátorem je operátor \hat A = \sin. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme \hat A f = \sin f.

Použití[editovat | editovat zdroj]

Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Související články[editovat | editovat zdroj]