Operátor

Tento článek pojednává o matematickém pojmu. Další významy jsou uvedeny v článku Operátor (rozcestník).

Bylo navrženo rozdělit tento článek

do samostatných článků pro jednotlivé druhy operátorů a na této stránce nechat jen základní a obecné informace. K návrhu se můžete vyjádřit v diskusi.

Operátorem $\hat A$ nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.

$\hat A f = g$,

kde $f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}$. Působením operátoru $\hat A$ na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor $\hat A$, zobrazující prostor X do prostoru Y.

Operátor obvykle značíme stříškou, např. $\hat H, \hat p$, apod.

Prvek $f \in \mathbf{X}$ nazýváme vzorem (originálem), prvek $g \in \mathbf{Y}$ obrazem.

Množina všech $g \in \mathbf{Y}$, které přísluší všem $f \in \mathbf{X}$, tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru $\hat A$. Obvykle se značí $\mathrm{Rng}(\hat A)$. Pokud operátor není definován pro všechna $f \in \mathbf{X}$, pak množinu těch $f \in X$ pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.

Funkcionál

Pokud je $\mathbf{Y}$ množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor $\hat A$ nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.

Vybrané druhy operátorů

Lineární operátor

Lineární operátor $\hat A$ je takový operátor, pro který platí

$\hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i)$,

kde $f_i$ jsou libovolné funkce a $c_i$ jsou libovolné koeficienty.

Linearitu operátoru $\hat A$ je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty $c_1, c_2$ a libovolné funkce $f_1, f_2, g_1, g_2$ takové, že $g_1 = \hat A f_1$ a $g_2 = \hat A f_2$, pak platí

$\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2$

Antilineární operátor

Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí

$\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i$,

kde $f_i$ jsou libovolné funkce a $c_i^*$ jsou koeficienty komplexně sdružené k $c_i$.

Operátor identity

Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) $\hat I$, pro který platí

$\hat I f = f$

Působením operátoru identity $\hat I$ tedy nedochází k žádné změně.

Totožné operátory

Pokud pro dva operátory $\hat A, \hat B$ z X do Y platí $\hat A f = \hat B f$ pro každé $f \in \mathbf{X}$, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.

Spojitý operátor

Operátor $\hat A$ se nazývá spojitý v bodě $f_0 \in \mathbf{X}$, jestliže pro každou posloupnost prvků $\{f_n\}$ z $\mathbf{X}$, pro kterou v prostoru $\mathbf{X}$ platí $f_n \to f_0$, platí také $\hat A f_n \to \hat A f_0$, tzn. $g_n \to g_0$, v prostoru $\mathbf{Y}$.

Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě $f_1 \in \mathbf{X}$, je spojitý v každém bodě $f \in \mathbf{X}$.

Omezený operátor

Operátor $\hat A$ nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové $\mu > 0$ (nezávislé na f), že pro každé $f \in \mathbf{X}$ platí

${\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}$,

kde ${\|f\|}_\mathbf{X}$ je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a ${\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}$ je norma prvku $\hat A f$ v prostoru Y.

Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.

Infimum čísel $\mu$ operátoru $\hat A$ představuje tzv. normu operátoru $\|\hat A\|$, tzn.

$\|\hat A\| = \inf \mu$

Normu lze také získat jako supremum množiny čísel ${\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}$ pro všechny jednotkové prvky f, tzn.

$\|\hat A\| = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}$

Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor

Operátor $\hat A$ označíme jako symetrický, jestliže platí

$\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle$

kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.

Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.

Operátor $\hat A$ označíme jako antihermiteovský, je-li operátor $\mathrm{i} \hat A$ hermiteovský.

K operátoru $\hat A$ existuje sdružený operátor ${\hat A}^+$, který splňuje vztah

$\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle$

neboli

$\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*$

Platí vztahy

$\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|$

${({\hat A}^+)}^+ = \hat A$

${(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+$

${(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+$

${(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+$

Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí

${\hat A}^+ = \hat A$

Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.

Samosdružený operátor $\hat A$ je pozitivní, když pro každé $|u\rangle$ platí

$\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0$

Operátor označujeme jako normální, když platí

$[\hat A,{\hat A}^+] = 0$,

kde $[,]$ označují komutátor.

Inverzní operátor

Operátor ${\hat A}^{-1}$ nazveme inverzním operátorem k $\hat A$, pokud platí

$\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I$,

kde $\hat I$ představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.

Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)

${(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}$

${({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+$

Unitární operátor

Operátor $\hat A$ označíme jako unitární, pokud platí

${\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}$

neboli

${\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I$,

kde $\hat I$ je operátor identity.

Pro libovolný unitární operátor $\hat A$ platí

$\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle$

Jestliže operátor $\hat M$ splňuje vztah

$\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle$,

pak operátor $\hat M$ označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah ${\hat M}^+ \hat M = \hat I$, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být $\hat M {\hat M}^+ \ne \hat I$.

Projekční operátor

Omezený operátor $\hat E$ označíme jako projekční, splňuje-li podmínky

$\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2$

Je-li $\hat E$ projekční operátor, pak je projekčním operátorem také

${\hat E}^\prime = \hat I - \hat E$,

kde $\hat I$ představuje operátor identity. Platí přitom vztahy

$\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I$

$\hat E {\hat E}^\prime = 0$

Je-li $|\psi_k\rangle$ vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na $|\psi_k\rangle$ lze vyjádřit jako

$\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$

Jestliže množina vektorů $\{|\psi_k\rangle\}$ tvoří ortonormální bázi podprostoru $H_1$, pak projekční operátor do $H_1 \subset H$ vyjádříme jako

$\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|$

Pokud je $H_1 = H$, pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.

$\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I$

Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).

Operace s operátory

Součtem dvou operátorů $\hat A, \hat B$ získáme operátor $\hat C = \hat A + \hat B$, pro který platí

$\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u$

Operátor $\hat C$ označíme jako součin operátorů $\hat A$ a $\hat B$, tzn. $\hat C= \hat A \hat B$, pokud pro každé u platí

$\hat C u = \hat A (\hat B u)$

Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. ${\hat A}^2 = \hat A \hat A$.

Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory $\hat A, \hat B$ neplatí $\hat A \hat B = \hat B \hat A$. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů $\hat A, \hat B$, zavádíme tzv. komutátor operátorů

$[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A$

Dva nekomutativní operátory $\hat A, \hat B$ splňují pro některé u vztah

$[\hat A,\hat B] \ne 0$

Dva komutativní operátory $\hat A, \hat B$ splňují pro libovolné u vztah

$[\hat A,\hat B] = 0$

Jsou-li lineární hermiteovské operátory $\hat A, \hat B$ komutativní, pak mají společné vlastní funkce.

Jestliže operátory $\hat A, \hat B$ komutují, tzn. $[\hat A,\hat B]=0$, pak pro libovolné funkce f, g platí

$[f(\hat A),g(\hat B)] = 0$

Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů

$\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A$

Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:

$[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]$

$[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]$

$[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}$

$[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B$

$\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}$

$\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}$

$\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C$

$\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]$

Platí také tzv. Jacobiho identita

$[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0$

Příklad

• Příkladem lineárního operátoru může být operátor $\hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
• Nelineárním operátorem je operátor $\hat A = \sin$. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme $\hat A f = \sin f$.

Použití

Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.

Související články

• Zobrazení
• Množina
• Vlastní čísla
• Vektorový prostor
• Kvantová fyzika
• Programovací jazyk
• Diracova symbolika