Operátor
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Operátorem Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
nazýváme v matematice takové zobrazení, kterým nějaké funkci f přiřazujeme funkci g, tzn.
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A f = g
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y} . Působením operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
, zobrazující prostor X do prostoru Y.
Operátor obvykle značíme stříškou, např. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat H, \hat p , apod.
Prvek Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X}
nazýváme vzorem (originálem), prvek Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g \in \mathbf{Y}
obrazem.
Množina všech Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g \in \mathbf{Y} , které přísluší všem Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X} , tzn. množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A . Obvykle se značí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathrm{Rng}(\hat A) . Pokud operátor není definován pro všechna Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X} , pak množinu těch Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in X
pro které definován je nazveme definičním oborem operátoru.
Obsah |
[editovat] Funkcionál
Pokud je Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathbf{Y}
množina reálných, resp. komplexních čísel, tzn. proměnná g je reálné, resp. komplexní číslo, pak operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A nazýváme (reálným, resp. komplexním) funkcionálem.
[editovat] Vybrané druhy operátorů
[editovat] Lineární operátor
Lineární operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
je takový operátor, pro který platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A (\sum_i c_i f_i) = \sum_i c_i (\hat A f_i)
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_i
jsou libovolné funkce a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_i jsou libovolné koeficienty.
Linearitu operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
je také možné vyjádřit tak, že pokud existují libovolné koeficienty Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_1, c_2 a libovolné funkce Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_1, f_2, g_1, g_2 takové, že Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g_1 = \hat A f_1 a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g_2 = \hat A f_2
, pak platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2
[editovat] Antilineární operátor
Operátor označujeme jako antilineární, jestliže platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_i
jsou libovolné funkce a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_i^* jsou koeficienty komplexně sdružené k Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): c_i
.
[editovat] Operátor identity
Důležitým operátorem je tzv. operátor identity (jednotkový operátor) Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I , pro který platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I f = f
Působením operátoru identity Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I
tedy nedochází k žádné změně.
[editovat] Totožné operátory
Pokud pro dva operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
z X do Y platí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A f = \hat B f
pro každé Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X}
, pak říkáme, že oba operátory jsou totožné.
[editovat] Spojitý operátor
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
se nazývá spojitý v bodě Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_0 \in \mathbf{X}
, jestliže pro každou posloupnost prvků Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{f_n\}
z Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathbf{X}
, pro kterou v prostoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathbf{X}
platí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_n \to f_0
, platí také Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A f_n \to \hat A f_0 , tzn. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): g_n \to g_0 , v prostoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathbf{Y} .
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f_1 \in \mathbf{X} , je spojitý v každém bodě Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X} .
[editovat] Omezený operátor
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
nazveme ohraničeným (omezeným) operátorem tehdy, jestliže existuje takové Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mu > 0
(nezávislé na f), že pro každé Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): f \in \mathbf{X}
platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\|f\|}_\mathbf{X}
je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} je norma prvku Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A f v prostoru Y.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mu
operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A představuje tzv. normu operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \|\hat A\|
, tzn.
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \|\hat A\| = \inf \mu
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}
pro všechny jednotkové prvky f, tzn.
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \|\hat A\| = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}
[editovat] Symetrický, hermiteovský a sdružený operátor
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
označíme jako symetrický, jestliže platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle
kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor označujeme jako hermiteovský.
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
označíme jako antihermiteovský, je-li operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \mathrm{i} \hat A
hermiteovský.
K operátoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
existuje sdružený operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^+
, který splňuje vztah
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle
neboli
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*
Platí vztahy
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \|{\hat A}^+\| = \|\hat A\|
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {({\hat A}^+)}^+ = \hat A
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {(\lambda \hat B)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+
Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^+ = \hat A
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermiteovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
je pozitivní, když pro každé Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): |u\rangle platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle u|\hat A|u\rangle \ge 0
Operátor označujeme jako normální, když platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,{\hat A}^+] = 0
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [,]
označují komutátor.
[editovat] Inverzní operátor
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^{-1}
nazveme inverzním operátorem k Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
, pokud platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I
představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů)
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1}
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+
[editovat] Unitární operátor
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
označíme jako unitární, pokud platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^+ = {\hat A}^{-1}
neboli
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I
je operátor identity.
Pro libovolný unitární operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A
platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle
Jestliže operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat M
splňuje vztah
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle
, pak operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat M
označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat M}^+ \hat M = \hat I
, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat M {\hat M}^+ \ne \hat I .
[editovat] Projekční operátor
Omezený operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E
označíme jako projekční, splňuje-li podmínky
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2
Je-li Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E
projekční operátor, pak je projekčním operátorem také
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat E}^\prime = \hat I - \hat E
, kde Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat I
představuje operátor identity. Platí přitom vztahy
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E + {\hat E}^\prime = \hat I
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E {\hat E}^\prime = 0
Je-li Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): |\psi_k\rangle
vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): |\psi_k\rangle lze vyjádřit jako
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|
Jestliže množina vektorů Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{|\psi_k\rangle\}
tvoří ortonormální bázi podprostoru Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): H_1
, pak projekční operátor do Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): H_1 \subset H
vyjádříme jako
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|
Pokud je Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): H_1 = H , pak je projekční operátor operátorem identity, tzn.
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I
Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).
[editovat] Operace s operátory
Součtem dvou operátorů Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
získáme operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat C = \hat A + \hat B
, pro který platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u
Operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat C
označíme jako součin operátorů Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A a Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat B
, tzn. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat C= \hat A \hat B , pokud pro každé u platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat C u = \hat A (\hat B u)
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, např. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): {\hat A}^2 = \hat A \hat A .
Násobení operátorů není komutativní, tzn. v obecném případě pro dva operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
neplatí Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A \hat B = \hat B \hat A
. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B , zavádíme tzv. komutátor (algebra) operátorů
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A
Dva nekomutativní operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
splňují pro některé u vztah
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B] \ne 0
Dva komutativní operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
splňují pro libovolné u vztah
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B] = 0
Jsou-li lineární hermiteovské operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
komutativní, pak mají společné vlastní funkce.
Jestliže operátory Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A, \hat B
komutují, tzn. Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B]=0
, pak pro libovolné funkce f, g platí
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [f(\hat A),g(\hat B)] = 0
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A
Z definice komutátoru a antikomutátoru dostaneme následující vztahy:
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A]
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C]
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\}
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\}
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\}
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]
Platí také tzv. Jacobiho identita
- Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): [\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0
[editovat] Příklad
- Příkladem lineárního operátoru může být operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}
, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x.
- Nelineárním operátorem je operátor Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A = \sin
. Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f dostaneme Oddělování selhalo (Nelze vytvořit adresář pro výstup matematiky nebo do něj zapisovat): \hat A f = \sin f .
[editovat] Použití
Operátory mají významnou aplikaci v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.
[editovat] Související články
- Zobrazení
- Množina
- Vlastní čísla
- Vektorový prostor
- Kvantová fyzika
- Programovací jazyk
- Diracova symbolika
